Дро́бно-лине́йное преобразова́ниеПеревод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи, или дробно-линейное отображе́ние, — это отображение произвольного комплексного пространства на себя, которое осуществляется дробно-линейными функциями.

Это одно из обобщений дробно-линейного преобразование комплексной плоскости.

Формальное определение Дробно-линейное преобразование — это невырожденное отображение комплексного пространства любой размерности на себя

осуществляемое дробно-линейными функциями

где — комплексные переменные, — комплексные коэффициенты, .

Продолжения в компактификацию Наибольший интерес представляют те преобразования из множества всех дробно-линейных преобразований, которые можно продолжить в какую-нибудь из компактификаций комплексного пространства , то есть пополнение и замыкание его бесконечными элементами.

Обычное замыкание При самом простом способе компактификации комплексного пространства получается пространство теории функций .

В это пространство теории функций продолжаются дробно-линейные преобразования двух видов: все переставляющие координаты линейные преобразования; дробно-линейные преобразования следующего вида:

где

на комплексной плоскости .

Группа дробно-линейных преобразований, которая порождается этими двумя видами преобразований, совпадает с группой всех биголоморфных автоморфизмов пространства теории функций .

В частности, у группы имеется подгруппа преобразований

которая исчерпывает все автоморфизмы единичного поликруга .

Проективное замыкание При проективном замыкании комплексного пространства получается комплексное проективное пространство .

В это комплексное проективное пространство продолжаются дробно-линейные преобразования следующего вида: .

Указанное продолжение в однородных координатах имеет следующий вид: .

Представленными дробно-линейными преобразованиями исчерпывается группа всех биголоморфных автоморфизмов комплексного проективного пространства .

В частности, рассмотрим единичный шар

комплексного пространства . Все его автоморфизмы составляют подгруппу группы , состоящую из всех дробно-линейных преобразований , коэффициенты которых удовлетворяют следующим условиям:

В этих условиях указанный шар переходит в себя, когда , и, следовательно, . Тогда можно считать, что , поскольку числитель и знаменатель дробно-линейного преобразования можно поделить на одно и то же число.

Одномерное комплексное пространство

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости, — это отображение комплексной плоскости на себя: , — постоянные, .

Дробно-линейные преобразования образуют некоммутативную группу дробно-линейных преобразований.

Дробно-линейное преобразование представляет собой следующие частные случаи: одномерное комплексное дробно-линейное преобразование; дробно-линейная функция одной комплексной переменной; рациональная функция первого порядка; одномерное комплексное преобразование Мёбиуса.

Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости со своими многочисленными великолепными свойствами заслуживает особого изучения, поскольку оно само и различные его частные случаи по необходимости и очень разнообразно используются во многих разделах теории функций комплексного переменного.

По словам британского профессора Тристана Нидхема, обладая «обманчивой простотой», дробно-линейное преобразование составляет основу некоторых «захватывающих» современных направлений последних математических исследований. Возможное объяснение этого заключается в их тесном и в некотором роде «магическом» взаимодействии с неевклидовой геометрией. Более того, дробно-линейное преобразование также тесно взаимодействуют с теорией относительности Альберта Эйнштейна, что было использовано сэром Роджером Пенроузом.

Двумерное комплексное пространство

Рассмотрим в двумерном комплексном пространстве дробно-линейное преобразование следующего вида: , , .

Для дальнейшего изложения удобнее вложить комплексное аффинное пространство в комплексное проективное пространство , , , , .

Пусть теперь , — некоторое вложение . Такое вложение отождествляет подмножество с множеством . В алгебраической терминологии это означает, что

и, кроме того, .

Перепишем указанной дробно-линейное преобразование в однородных координатах: , ,

в матричной форме получим: ,

что означает, что эти дробно-линейные преобразования образуют проективную группу комплексной размерности 8 комплексного проективного пространства . Обобщая, можно сказать, что произвольное преобразование из определяется точкой. Индекс у группы — это размерность объемлющего комплексного пространства, а соответствующее проективное пространство размерности на единицу меньше.

В качестве примера построим дробно-линейное преобразование . Возьмём преобразование , , обратное ему будет , , причём непосредственно выясняются следующие равнозначности: , , что означает, что построено следующее преобразование: .

Примечания

Источники

Категория:Элементарные функции комплексной переменной Категория:Типы функций Категория:Дроби