Конкретная категория в математике — категория, снабжённая строгим функтором в категорию множеств, то есть пара , состоящая из категории и строго функтора .
Строгий функтор является забывающим, сопоставляя объекту категории его множество-носитель. Благодаря этому функтору можно оперировать с объектами такой категории образом, сходным с работой с множествами с дополнительной структурой, а морфизмы представлять как функции, сохраняющие дополнительную структуру. Многие категории имеют очевидную интерпретацию конкретных категорий, например, категория групп, категория топологических пространств и собственно категория множеств. Все малые категории конкретизируемы: функтор можно определить как функтор, отправляющий объект категории во множество всех морфизмов (для всевозможных объектов ), а морфизм категории — в морфизм , который сопоставляет стрелке композицию . С другой стороны, существуют неконкретизируемые категории; например, категория гомотопий топологических пространств неконкретизируема, то есть не допускает строгого функтора в категорию множеств.
Вопреки интуиции, «конкретность» — это не свойство, которым категория может обладать или не обладать, а дополнительная структура, которой она может быть снабжена; кроме того, категория может допускать несколько строгих функторов в , однако на практике этот функтор обычно очевиден.
Требование строгости означает, что он отображает разные морфизмы с фиксированным образом и прообразом в разные функции на множествах. Однако он может «склеивать» разные объекты категории, и, если это случится, он будет отображать разные морфизмы в одну функцию.
Например, если and — две различные топологии на одном множестве , то и — различные объекты категории топологических пространств и непрерывных отображений, но они отображаются в одно и то же множество под действием забывающего функтора . Более того, тождественные морфизмы и понимаются как различные морфизмы в , однако им соответствует одна и та же функция, а именно тождественная функция на .
Среди неконкретизируемых категорий — , объекты которой — топологические пространства, а морфизмы — классы гомотопных функций: хотя объекты этой категории можно представить как множества, однако морфизмы в ней — это не функции, а, скорее, классы функций; отсутствие строгого функтора из доказано в 1970 году. Ранее было показано, что категория всех малых категорий и естественных преобразований неконкретизируема.
Литература
Категория:Теория категорий