Теория колец — раздел общей алгебры, изучающий свойства колец — алгебраических структур со сложением и умножением, схожими по поведению со сложением и умножением чисел. Выделяются два раздела теории колец: изучение коммутативных и некоммутативных колец.

Коммутативные кольца в целом лучше исследованы, они являются основным предметом изучения коммутативной алгебры, которая является важной частью современной математики, обеспечивающей инструментальные средства для развития алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел. Эти три теории настолько тесно связаны, что не всегда возможно указание, к какой области относится тот или иной результат, например, теорема Гильберта о нулях играет фундаментальную роль в алгебраической геометрии, но формулируется и доказывается в терминах коммутативной алгебры. Другой пример — великая теорема Ферма, которая формулируется в терминах элементарной арифметики (являющейся частью коммутативной алгебры), но её доказательство использует глубокие результаты как алгебраической геометрии, так и алгебраической теории чисел.

Поведение некоммутативных колец более сложно, довольно долгое время их теория развивалась независимо от коммутативной алгебры, однако в конце XX века появилась тенденция выстраивать эту теорию более геометричным образом, рассматривая такие кольца как кольца функций на (несуществующих) «некоммутативных пространствах». Этот тренд зародился в 1980-х годах с появлением некоммутативной геометрии и открытием квантовых групп, благодаря применению методов этих теорий достигнуто лучшее понимание некоммутативных колец, особенно некоммутативных нётеровых колецGoodearl, K. R., An introduction to noncommutative Noetherian rings, 1989..

Некоторые ключевые результаты Общие для всех колец: Теоремы об изоморфизме для колец Лемма Накаямы Структурные теоремы для некоторых классов колец: Теорема Веддербёрна — Артина о структуре полупростых колец. о структуре нецелостных колец главных идеалов. Теория Мориты описывает ситуации, когда два кольца имеют эквивалентные категории модулей над ними. Малая теорема Веддербёрна утверждает, что конечное кольцо без делителей нуля является полем.

Примечания

Литература Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4. История теории колец на MacTutor Archive (англ.)

Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., An introduction to noncommutative Noetherian rings. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp. — ISBN 0-521-36086-2 Nathan Jacobson, The Theory of Rings. American Mathematical Society Mathematical Surveys, vol. I. American Mathematical Society, New York, 1943. vi+150 pp.

McConnell, J. C.; Robson, J. C. Noncommutative Noetherian rings. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xx+636 pp. — ISBN 0-8218-2169-5

*