Тео́рия поле́й — раздел математики, занимающийся изучением свойств полей, то есть структур, обобщающих свойства сложения, вычитания, умножения и деления чисел.
История В 1820—1830-х годах понятие поля неявно использовали Нильс Абель и Эварист Галуа в своих работах по разрешимости уравнений в радикалах. В 1871 году Рихард Дедекинд назвал «полем» подмножество действительных или комплексных чисел, замкнутое относительно четырех математических операций. В 1881 году Леопольд Кронекер изучал свойства алгебраических числовых полей, называя их «областями рациональности». В 1893 году Генрих Вебер дал первое чёткое определение абстрактного поля. В 1910 году Эрнст Штайниц опубликовал известную работу Algebraische Theorie der Körper (нем. Алгебраическая теория полей), в которой развил аксиоматическую теорию полей и предложил множество важных концепций, таких как простое поле, совершенное поле и степень трансцендентности расширения поля.
Коммутативность поля Первые определения поля не включали в себя требование коммутативности умножения, однако современный термин «поле» всегда подразумевает его коммутативность. Структура, удовлетворяющая всем свойствам поля, кроме коммутативности умножения в российской традиции называется телом. Однако по-немецки поле называют Körper (поэтому буква часто употребляется для обозначения поля), а по-французски — corps, что также переводится как «тело».
Приложения теории полей Понятие поля используется, например, при определении векторного пространства и, следовательно, представляет большую важность для линейной алгебры. Так же и алгебраическое многообразие — основной объект изучения алгебраической геометрии — определяется над произвольным полем. Алгебраическая теория чисел занимается изучением свойств алгебраических числовых полей и их колец целых; и, конечно, использует результаты классической теории полей.
Конечные поля используются в теории чисел и теории кодирования. В частности, поля характеристики 2 полезно рассматривать в информатике.
Некоторые полезные теоремы Теорема о примитивном элементе Малая теорема Веддербёрна Основная теорема теории Галуа
См. также Теория Галуа
Примечания