Отображение Веронезе — отображение из в пространство симметричных матриц определённое формулой
Заметим, что для любого . В частности, сужение на единичную сферу факторизуется через проективное пространство . Это так называемое вложение Веронезе . Образ вложения Веронезе называется подмногообразием Веронезе, а при — поверхностью Веронезе.
Свойства
Матрицы в образе вложении Веронезе задают проекции на одномерные подпространства в . Их можно описать уравнениями
То есть матрицы в образе имеют единичный след и единичную норму. В частности верно следующее. Образ лежит в афинном пространстве размерности . Образ лежит в -сфере радиуса Более того образ является минимальным подмногообразием в этой сфере.
Вложение Веронезе индуцирует риманову метрику , где обозначает каноническую метрику на .
Вложение Веронезе переводит каждую геодезическую в окружность радиуса . В частности, все нормальные кривизны образа равны .
Многообразие Веронезе является внешне симметрическим, то есть отражение в любом его нормальном пространстве переводит многообразие в себя.
Вариации и обобщения
Ананлоги вложений Веронезе строятся для комплексных и кватернионных проективных пространстсв, а также для плоскости Кэли.
Литература
Cecil, T. E.; Ryan, P. J. Tight and taut immersions of manifolds Res. Notes in Math., 107, 1985. K. Sakamoto, Planar geodesic immersions, Tohoku Math. J., 29 (1977), 25–56.
Категория:Дифференциальная геометрия и топология Категория:Минимальные поверхности