В теории категорий моноид в моноидальной категории — это объект M вместе с двумя морфизмами (называемый умножением), и (называемый единицей),
такими что следующая пятиугольная диаграмма
а также диаграмма
коммутативны. Обозначения те же, что и в статье Моноидальная категория: I — единица категории, , и — ассоциатор и морфизмы, соответствующие левому и правому умножению на единицу.
Двойственно, комоноид в моноидальной категории C — это моноид в двойственной категории .
Пусть категория C имеет также преобразование симметрии . Тогда моноид называется симметричным, если .
Примеры Моноид в категории Set (рассматриваемой, как моноидальная категория относительно прямого произведения) — это моноид в общеалгебраическом смысле. Моноид в категории абелевых групп (с тензорным произведением как -модулей) — это кольцо. Из следует, что моноид в категории колец (с единицей) — это коммутативное кольцо. Моноид в категории модулей над коммутативным кольцом R — это R-алгебра. Моноид в категории векторных пространств над полем k — k-алгебра, соответственно, комоноид — k-коалгебра. Для любой категории C, категория [C,C] эндофункторов (функторов в себя) [C,C] имеет моноидальную структуру, индуцированную операцией композиции. Моноид в категории эндофункторов [C,C] — это монада в C.
Категория моноидов Пусть и — два моноида в моноидальной категории C, морфизм является морфизмом моноидов, если , .
Категория моноидов в C с морфизмами, определёнными выше, записывается как .
Литература Маклейн С. Категории для работающего математика — М.: Физматлит, 2004. Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalov, Monoids, Acts and Categories (2000), Walter de Gruyter, Berlin — ISBN 3-11-015248-7
Категория:Теория категорий