Сферический многогранник (сферическая мозаика) — мозаика на сфере, в которой поверхность разделена большими дугами на ограниченные области, называемые сферическими многоугольниками. Большая часть теории симметричных многогранников использует сферические многогранники.
Наиболее известным примером сферического многогранника служит футбольный мяч, который можно понимать как усечённый икосаэдр.
Некоторые «несобственные» многогранники, такие как осоэдры и двойственные им диэдры, существуют только как сферические многогранники и не имеют аналогов с плоскими гранями. В таблице с примерами ниже {2, 6} — осоэдр, а — {6, 2} двойственный ему диэдр.
История Первые известные сделанные человеком многогранники — сферические многогранники, высеченные в камне. Многие из них были найдены в Шотландии и датируются периодом Неолита.
Во времена европейских «тёмных столетий» исламский учёный Абуль-Вафа аль-Бузджани написал первую серьёзную работу о сферических многогранниках.
В начале XIX века Пуансо использовал сферические многогранники для обнаружения четырёх правильных звёздчатых многогранников.
В середине XX века Коксетер использовал их для перечисления всех (за исключением одного) однородных многогранников, посредством калейдоскопического построения (Построение Витхоффа).
Примеры Все правильные, полуправильные многогранники и их двойственные можно спроектировать на сферу как мозаику. В таблице ниже указаны символы Шлефли {p, q} и схема вершинной фигуры a.b.c. …: Символ Шлефли{p, q}t{p, q}r{p, q}t{q, p}{q, p}rr{p, q}tr{p, q}sr{p, q}Вершинная фигураpqq.2p.2pp.q.p.qp. 2q.2qqpq.4.p. 44.2q.2p3.3.q.3.pТетраэдральные(3 3 2)333.6.63.3.3.33.6.633 3.4.3.44.6.63.3.3.3.3V3.6.6V3.3.3.3V3.6.6V3.4.4.4V4.6.6V3.3.3.3.3Октаэдральные(4 3 2)433.8.83.4.3.44.6.6343.4.4.44.6.83.3.3.3.4V3.8.8V3.4.3.4V4.6.6V3.4.4.4V3.3.3.3.4Икосаэдральные(5 3 2)533.10.103.5.3.55.6.6353.4.5.44.6.103.3.3.3.5V3.10.10V3.5.3.5V5.6.6V3.4.5.4V4.6.10Диэдральныепримеры=6(2 2 6) 62 2.12.12 2.6.2.6 6.4.4 26 4.6.4 3.3.3.6
Класс234567810Призма(2 2 p)Бипирамида(2 2 p)АнтипризмаТрапецоэдр
Несобственные случаи Сферические мозаики допускают случаи, которые невозможны для многогранников, а именно — осоэдры, правильные фигуры {2,n}, и диэдры, правильные фигуры {n,2}.
+ Семейство правильных осоэдровРисунокШлефли{2,2}{2,3}{2,4}{2,5}{2,6}{2,7}{2,8}…КоксетерГрани ирёбра2345678Вершины2
+ Правильные диэдры: (сферические мозаики)РисунокШлефли{2,2}{3,2}{4,2}{5,2}{6,2}…КоксетерГрани2 {2}2 {3}2 {4}2 {5}2 {6}Рёбра ивершины23456
Связь с мозаиками на проективной плоскости Поскольку сфера является двулистным накрытием проективной плоскости, проективные многогранники соответствуют двойному накрытию сферическими многогранниками, имеющими центральную симметрию.
Наиболее известными примерами проективных многогранников служат правильные проективные многогранники, образованные из центрально симметричных правильных многогранников, а также из бесконечных семейств чётных диэдров и осоэдров: , {4,3}/2 , {3,4}/2 , {5,3}/2 Полуикосаэдр, {3,5}/2 Полудиэдр, {2p,2}/2, p>=1 Полуосоэдр, {2,2p}/2, p>=1
Примечания
Литература
Категория:Многогранники Категория:Замощения