Аксиоматика Гильберта — система аксиом евклидовой геометрии. Разработана Гильбертом как более полная, нежели система аксиом Евклида.
Неопределяемые понятия Неопределяемыми понятиями в системе аксиом Гильберта являются: точка, прямая линия, плоскость. Есть также 3 элементарных отношения: Лежать между, применимо к точкам; Принадлежать, применимо к точкам и прямым, точкам и плоскостям или прямым и плоскостям; Конгруэнтность (геометрическое равенство), применимо, например, к отрезкам, углам или треугольникам, и обозначается инфиксным символом . Все точки, прямые и плоскости предполагаются различными, если не оговорено иное.
Аксиомы Система из 20 аксиом поделена на 5 групп: аксиомы принадлежности: планиметрические: Каковы бы ни были две точки и , существует прямая , которой принадлежат эти точки. Каковы бы ни были две различные точки и , существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки. Каждой прямой принадлежат, по крайней мере, две точки. Существуют, по крайней мере, три точки, не принадлежащие одной прямой. стереометрические: Каковы бы ни были три точки , и , не принадлежащие одной прямой, существует плоскость , которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка. Каковы бы ни были три точки , и , не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти три точки. Если две различные точки и , принадлежащие прямой , принадлежат некоторой плоскости , то каждая точка, принадлежащая прямой , принадлежит указанной плоскости. Если существует одна точка , принадлежащая двум плоскостям и , то существует, по крайней мере, ещё одна точка , принадлежащая обеим этим плоскостям. Существуют, по крайней мере, четыре точки, не принадлежащие одной плоскости. аксиомы порядка: линейные: Если точка прямой лежит между точками и той же прямой, то , и — различные точки указанной прямой, причём лежит также и между и . Каковы бы ни были две различные точки и , на определяемой ими прямой существует, по крайней мере, одна точка такая, что лежит между и , и, по крайней мере, одна точка , такая, что лежит между и . Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой, всегда одна и только одна точка лежит между двумя другими. планиметрическая: Аксиома Паша. Пусть , и — три точки, не лежащие на одной прямой, и — прямая в плоскости (), не проходящая ни через одну из точек , , . Если при этом прямая проходит через точку отрезка , то она непременно проходит через точку отрезка или точку отрезка . аксиомы конгруэнтности: линейные: Если и — две точки, лежащие на прямой , — точка на той же прямой или на другой прямой , то по данную от точки сторону прямой найдётся, и притом только одна, точка такая, что отрезок конгруэнтен отрезку . Каждый отрезок конгруэнтен отрезку . Если отрезки и конгруэнтны одному и тому же отрезку , то они конгруэнтны и между собой. Пусть и — два отрезка прямой , не имеющие общих внутренних точек, и — два отрезка той же прямой, или другой прямой , также не имеющие общих внутренних точек. Тогда если отрезок конгруэнтен отрезку , а отрезок конгруэнтен отрезку , то отрезок конгруэнтен отрезку . планиметрические: Если даны угол в плоскости и луч в плоскости , тогда в плоскости существует ровно один луч по определённую сторону от (и соответственно второй луч по другую сторону от ), такой, что (и соответственно ). Следствие: Каждый угол конгруэнтен самому себе. Если для двух треугольников и имеют место конгруэнции: , , , то всегда имеют место и конгруэнции: , . аксиома параллельности, для которой Гильберт выбрал не евклидову формулировку, а эквивалентную ей, но более простую аксиому Прокла: планиметрические: Пусть — произвольная прямая, и — точка вне её; тогда в плоскости, определяемой точкой и прямой , можно провести не более одной прямой, проходящей через и не пересекающей . аксиомы непрерывности: линейные: Аксиома Архимеда. Если даны отрезок и луч , то существует число и точек на таких, что , , совпадает с , и лежит между и . «Полнота линии». Добавление хотя бы одной дополнительной точки в прямую линию вызовет противоречие с одной из аксиом принадлежности, порядка, первыми двумя аксиомами конгруэнтности или аксиомой Архимеда.
21-я аксиома Гильберт изначально (1899) включил 21-ю аксиому:
«Любым четырём точкам на прямой можно присвоить имена и так, чтобы точка лежала между точками и , а также между и ; точка — между и , а также между и ».
Элиаким Гастингс Мур и Роберт Ли Мур в 1902 году независимо доказали, что эта аксиома избыточна.
Полнота и непротиворечивость Как доказал Альфред Тарский (1951), аксиоматика Гильберта логически полна, то есть любое (формальное) высказывание о содержащихся в ней геометрических понятиях может быть доказано или опровергнуто. Она также непротиворечива, если непротиворечива арифметика.
История Аксиоматическая схема евклидовой геометрии была опубликована Давидом Гильбертом в 1899 году в праздничном томе «Festschrift», посвящённом открытию в Гёттингене памятника Карлу Фридриху Гауссу и его другу физику Вильгельму Веберу. Ныне «Основания геометрии» изданы на многих языках мира, одно из двух изданий на русском языке указано внизу в ссылках.
Другие системы аксиом Создатели догильбертовских систем: Евклид Паш Шур Пеано (включает понятие «движение») Веронезе М. Пиери (1899)
Родственные гильбертовой: В. Ф. Каган (1902) О. Веблен (1904) А. Колмогоров
Более современные аксиоматики: Аксиоматика Александрова Аксиоматика Бахмана аксиоматика Тарского аксиоматика Биркгофа — содержит «аксиому линейки» и «аксиому транспортира». Её варианты используются в большинстве американских школьных учебников, к ней близка аксиоматика Погорелова. Аксиоматика Вейля — оперирует неопределяемыми понятиями точки и свободного вектора. Прямая и плоскость определяются как множества точек.
Ссылки Д. Гильберт. Основания геометрии. Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. Л., «Сеятель», 1923—152 с. Герман Вейль. Давид Гильберт и его математические труды.
Примечания
Категория:Основания геометрии