Тау-число (-число, ) — целое число , делящееся на число своих делителей, или, выражаясь алгебраически, такое , что . Первые несколько тау-чисел: 1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96. Например, 18 имеет шесть делителей (1, 2, 3, 6, 9, 18) и делится на 6.
Тау-числа имеют асимптотическую плотность нуль. Никакие три последовательных целых числа не могут быть тау-числамиJ. Zelinsky, Tau Numbers: A Partial Proof of a Conjecture and Other Results // Journal of Integer Sequences, Vol. 5 (2002), Article 02.2.8 Колтон доказал, что ни одно тау-число не является совершенным. Уравнение (где — наибольший общий делитель и ) имеет решение только в случае, если — тау-число.
Остаются нерешёнными несколько проблем относительно тау-чисел: существуют ли сколь угодно большие , для которых и , и являются тау-числами если существует тау-число , следует ли из этого, что существует , такое что является тау-числом и .
Тау-числа были впервые определены и Робертом Кеннеди в 1990 году Cooper, C.N. and Kennedy, R. E. Tau Numbers, Natural Density, and Hardy and Wright’s Theorem 437 // Internat. J. Math. Math. Sci. 13, 383—386, 1990 , установившими, что тау-числа имеют нулевую асимптотическую плотность. Позднее они были переоткрыты Саймоном Колтоном () с помощью программы, которую он написал для изобретения и проверки различных определений в теории чисел и теории графовS. Colton, Refactorable Numbers — A Machine Invention // Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), Article 99.1.2. Колтон назвал эти числа . Хотя компьютерные программы и обнаруживали доказательства ранее, это был первый случай, когда программа нашла новую или ранее незамеченную идею. Колтон доказал много результатов о тау-числах, показав бесконечность их числа и несколько условий их распределения.
Примечания
Категория:Целочисленные последовательности