Кабельная теория дендритов (также Кабельная теория Ролла или Модель Ролла) — это множество предположений и результатов, которые относятся к распространению и взаимодействия электрических сигналов в дендритных деревьях. Эта теория была разработана в 1959 году американским математиком и нейрофизиологом для объяснения влияния электротонических свойств и морфологии дендритов на нейроны.
История Понимание электротонических свойств нейрона возникло в XIX в. как результат объединения теории распространения тока в нервных клетках и мышцах с кабельной теорией, которая описывала распространение электрического тока на дальних расстояниях через кабели на дне океана. Поэтому «электротонические свойства» нейронов часто называют «кабельными свойствами». Основы кабельной теории заложил английский физик Уильям Томсон (Лорд Кельвин), который в 1855 представил Королевскому Обществу математический анализ затухания сигнала в трансатлантическом телефонном кабеле между Америкой и Англией, который тогда планировали прокладывать. Подводный кабель схож по своим свойствам с нервным волокном. Он имеет токопроводящие сердцевины, покрытые изолирующей оболочкой, и окружён морской водой. (Так же и нейроны находятся в соляном растворе, который содержит электрически заряженные частицы (ионы), которые генерируют электрический потенциал и двигаются в ответ на потенциалы). Но, поскольку изоляция кабеля не является совершенной, то существует конечное сопротивление утечки через изолятор. Главная количественная разница между кабелем и нейроном в том, что кабельные жилы сделаны из меди, что является намного лучшим проводником, чем соляной раствор нейрона, а также кабельное покрытие является значительно лучшим изолятором, чем мембрана клетки. Поэтому сигналы в кабеле, в отличие от нейрона, могут распространяться на дальние расстояния без существенного затухания.
Кабельная теория впервые была математически применена к нервной системе в конце XIX в. для описания электрического тока через нервные волокна. В 1940-х гг. Алан Ходжкин и др. применили кабельную теорию к аксонам беспозвоночных (краба и кальмара), тем самым положив начало математическому описанию и моделированию нейронов. Однако применение кабельной теории к дендритам считалось математически невозможным в связи с их сложной разветвлённой структурой. Лишь в 1960-х и 1970-х гг. математик и нейробиолог Вилфрид Ролл из Национальных институтов здоровья в серии статей, показал, как эта проблема может быть решена с помощью использования метода вычислительного компартментного моделирования (), и он же впервые применил кабельную теорию для описания интегративных функций дендритов, заложив основы вычислительной нейронауки. В те времена считалось, что дендриты являются настолько электротонически длинными, что любые входящие импульсы к ним не могут существенно влиять на электрические свойства сомы. Однако, соединив математическую кабельную теорию и те незначительные физиологические данные, которые в то время существовали, Ролл убедительно показал, что классические представления о дендритах существенно недооценивают их значительный вклад в нейронные исчисления и передачу информации. Созданные Роллом модели позволили построить единую математическую теорию дендритных функций, которая в сочетании с математическими моделями генерации синаптических потенциалов и потенциала действия обеспечила целостное теоретическое описание нейронной активности.
Кабельная теория Ролла
Основные предположения теории Фундаментальным законом, описывающим распространение электротонического тока по дендриту, является простое уравнение закона Ома:
Математическое описание прохождения тока по дендритам основывается на нескольких базовых предположениях: Мембрана в кабельной теории является пассивной (независима от напряжения) и однородной, тогда как реальные дендриты коры обладают нелинейными мембранными каналами. Входами к кабелю являются токи, которые линейно суммируются, в отличие от изменений в синаптической проводимости мембраны, которые не суммируются линейно. Электротонический ток испытывает влияние двух различных сопротивлений: внутреннего (или осевого) и мембранного сопротивления. Для простоты описания пассивного распространения потенциала, при установившемся входе к кабелю или дендриту с однородным потенциалом покоя (), и ёмкость могут быть проигнорированы. Следовательно, ток только делится на каждой точке прохождения через две линии сопротивления: осевого и мембранного. Поскольку, как известно, придание параллельных сопротивлений уменьшает общее сопротивление, то осевое сопротивление является обратно пропорциональным диаметру кабеля или дендрита,
где — осевое сопротивление на единицу длины (в Ω·см осевой длины) и — площадь поперечного сечения (). Поэтому толстый цилиндр или дендрит имеет меньшее осевое сопротивление, чем тонкий. Следовательно, предполагая, что осевое сопротивление является однородным по всему кабелю или дендриту, оно может быть выражено как
где — удельное осевое или внутреннее сопротивление (Ω·см осевой длины). Это является одним из ключевых положений кабельной теории. Дендриты являются тонкими трубочками, окутанными мембраной, которая является относительно хорошим электрическим изолятором по сопротивлению от внутриклеточной сердцевины или внеклеточной жидкости, поэтому изменения потенциала в радиальных или осевых направлениях являются незначительными в сравнении с продольными изменениями. Благодаря этой разнице в мембранном и осевом сопротивлении, для короткой длины дендрита электрический ток внутри серцивины кабеля (core conductor) проходит параллельно оси цилиндра (вдоль оси ). Именно поэтому классическая кабельная теория рассматривает только одно пространственное измерение () вдоль кабеля, игнорируя и измерения. Другими словами, ключевое предположение одномерной кабельной теории заключается в том, что мембранный потенциал вдоль нейронного кабеля выражается как функция одной продольной пространственной координаты и времени t, .
Следует, конечно, иметь в виду, что реальные дендриты — это не пустые цилиндры, и они являются трёхмерными. Наличие цитоскелетных элементов, органелл увеличивает эффективное внутреннее сопротивление, или осевое сопротивление, тем самым влияя на распространение электротонических сигналов.
Эквивалентный цилиндр
Кабельная модель дендритов (кабельную модель нейрона см., напр., в англоязычной статье или более подробно в,,) математически значительно сложнее, чем аксонов, поскольку их относительно малая длина является ключевым фактором для построения электротонических свойств. Для того, чтобы преодолеть эту сложность, линейная кабельная теория трактует каждый сегмент дендрита как кабель или цилиндр, окружённый пассивной мембраной, и который имеет постоянный радиус, по которому распространяется электротонический потенциал, что позволяет моделировать его через омическую проводимость, параллельную с ёмкостью. Поскольку внутри дендритного дерева нет петель, и дендритные ветви не связаны между собой непосредственно, то они могут рассматриваться как настоящие деревья в смысле теории графов, с единичным путём между любыми двумя точками на дереве. Прохождение тока в таких деревьях описывается линейным одномерным пассивным кабельным уравнением (дифференциальное уравнение в частных производных)
где — разница потенциалов вдоль мембраны, — это пространственная постоянная (постоянная длины) нервного волокна, которая выражает расстояние, после прохождения которого потенциал уменьшается до 1/ своей исходной амплитуды (то есть, до 37 % от первоначального значения); — мембранное сопротивление (в Ω·см); — это мембранная временная постоянная, а (в Ф/см) — мембранная ёмкость. Математическая сложность заключалась в решении этого уравнения для произвольных дендритных структур. Найденное Роллом аналитическое решение позволило ему показать существенное влияние дендритов на электрическое поведение нейронов.
Кабельное уравнение конечного кабеля является справедливым для любого неразветвлённого цилиндрического сегмента с постоянными мембранными свойствами и постоянным диаметром. Однако остаётся вопрос, можно ли использовать это уравнение для изучения потенциала в двух или более соединенных вместе сегментах. Поскольку то, каким образом сегменты необходимого кабеля соединены, зависит от надлежащего выбора граничных условий для каждого сегмента, то предположим, пусть три ветви имеют электротонические длины , и , с бесконечными входными сопротивлениями , и . Как известно из кабельной теории, бесконечное входное сопротивление конечного кабеля равно входному сопротивлению полубесконечного кабеля такого же диаметра и имеет такие же значения и , и вычисляется в соответствии с (1) Для простоты предположим, что две самые крайние ветви заканчиваются запечатанными концами (граничные условия), то есть осевой ток не проходит в кабель. Входные сопротивления двух самых крайних дочерних ветвей в точке разветвления, глядя в сторону их концов, задаются через уравнения входного сопротивления для бесконечного кабеля как (2) и (3) Правая сторона главного кабеля заканчивается в точке разветвления с двумя дочерними кабелями. Его нагрузочное сопротивление определяется входными сопротивлениями дочерних ветвей, в силу того факта, что полная проводимость двух параллельных проводимостей равна их сумме. Иначе говоря, мы вычисляем нагрузочное сопротивление, эффективно заменяя две проводимости дочерних ветвей одной. Тогда эффективное нагрузочное сопротивление главного кабеля определяется через (4) Наконец, используя кабельные уравнения для напряжения и входного сопротивления в конечном кабеле, входное сопротивление на левом конце главной ветви (глядя в сторону дочерних ветвей) определяется через (5) Этот алгоритм может быть рекурсивно применён для расчёта входного сопротивления произвольных пассивных деревьев и таким образом может позволить точно вычислить входное сопротивление на любой точке дерева, в чём и заключалось одно из важных достижений Ролла.
После расчёта входного сопротивления в любом конкретном месте на дендритном дереве, мы можем вывести устоявшееся напряжение в данном месте в ответ на поданный ток , используя закон Ома. К примеру, напряжение в точке в родительском кабеле будет (6) С учётом и используя кабельное уравнение для напряжений в конечном кабеле, мы можем вычислить изменение напряжения везде вдоль главной ветви в ответ на подачу установившегося тока . Тогда, если, например, родительский кабель поставляет ток двум дочерним ветвям, и нам нужно узнать, какая часть этого тока будет идти в один конец, а какая часть — в другой, то используя уравнение закона Ома для дискретного кабеля, входное сопротивление в полубесконечном кабеле и неймановские граничные условия, мы можем вычислить ток в одном дочернем кабеле (предполагая, что его конец запечатан, хотя это и не обязательно),
(7) где — напряжение в точке ветвления. В этой точке, (для дочерней точки), и ток, протекающий в этой ветке, определяется через (8) Поскольку тот же принцип применяется ко второй дочерней ветви и является справедливым для произвольного граничного условия, то отсюда следует, что (9) где и так же для . Другими словами, ток распределяется между этими ветвями в соответствии с их входными проводимостями.