Лемма Ферма́ — одно из базовых утверждений классического анализа: производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю.
Выдвинуто Николаем Орезмским в его учении о широтах и долготах ; у Ньютона этот факт упоминался как «принцип остановки»: «когда величина есть наибольшая или наименьшая из всех возможных, то она в этот момент не течёт ни вперёд, ни назад».
В современной нотации для функции , имеющей во внутренней точке области определения локальный экстремум и имеющей односторонние производные (конечные или бесконечные), утверждение формулируется следующим образом: если — точка локального максимума, то ; если — точка локального минимума, то . В частности, если функция имеет в производную, то .
Производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Её касательная в этой точке параллельна оси абсцисс. Обратное, вообще говоря, неверно, то есть из равенства нулю производной в некоторой точке не следует, что это точка экстремума (вместо этого она может быть точкой перегиба).
Примеры Для точка — локальный минимум, и: , (при этом сама функция не является дифференцируемой в точке ).
Для точка — локальный минимум, и .
Для производная в нуле обращается в нуль (), но точка не является точкой локального экстремума.
Примечания
Категория:Дифференциальное исчисление Ферма Ферма Ферма