Потенциа́льная ступе́нька — профиль потенциальной энергии частицы , характеризующийся резким переходом от одного (принимаемого за нулевое, для удобства) значения к другому (). Такие профили анализируются в квантовой механике, при этом коэффициент прохождения частицы с полной энергией оказывается отличным от единицы.
Простейшим профилем потенциала указанного типа является скачок: при и при . Для учёта некоторого размытия перехода используется выражение , моделирующее монотонное возрастание от 0 на до на .
Потенциальная ступенька может формироваться, например, координатной зависимостью энергии дна зоны проводимости полупроводниковой гетероструктуры, когда из-за разности сродства к электрону двух материалов на их стыке возникает достаточно резкий скачок .
Модель скачкообразной ступеньки Стационарное уравнение Шрёдингера для скачкообразной потенциальной ступеньки имеет вид: для , и то же самое без слагаемого с для . Здесь — масса частицы, — редуцированная постоянная Планка, а — волновая функция частицы. Предполагается, что частица движется в сторону положительных . Далее все символы с цифрой 1 относятся к области , а с цифрой 2 — к .
Считая, что , волновую функцию для областей 1 () и 2 () запишем как
, где . Из требования непрерывности волновой функции и её производной в точке получим
, что даёт . В итоге имеем коэффициенты отражения (надбарьерного отражения) и прохождения: . Этот результат принципиально отличается от классического: в классической механике никакого отражения в таком случае нет, а независимо от .
Модель размытой ступеньки Стационарное уравнение Шрёдингера для размытой потенциальной ступеньки (степень размытия задаётся параметром : чем он меньше, тем ближе потенциал к скачкообразному) записывается:
Если обозначить и , то оно примет вид
Если сделать замену переменной
то, с учётом обозначения , приведётся к виду:
Так как точки и являются особыми точкам данного уравнения, то естественно искать решение в виде:
Если выбрать и , то уравнение приведётся к гипергеометрическому уравнению Гаусса:
Выбирая решения с правильной асимптотикой, получим
Тогда можно получить коэффициенты отражения и прохождения. В случае :
Таким образом, наблюдается полное отражение. В случае с учётом обозначения :
В пределе , что совпадает с результатом предыдущего раздела, если вернуться к изначальным переменным.
Литература
Категория:Потенциал Категория:Квантовая механика Категория:Туннелирование