Преобразова́ние Ла́ндена относится к эллиптическим интегралам. Имеет смысл говорить о преобразовании Ландена в узком смысле и в широком смысле. В узком смысле, о котором будет идти речь ниже, британский математик (1719—1790) в 1775 году предложил очень удачную замену переменной в неопределённом интеграле, определяющем значение неполного эллиптического интеграла первого рода
то есть в первообразной функции
Предложенная Ланденом замена переменной описывается следующей формулой:
В результате такой замены переменной неопределённый интеграл преобразуется в следующий:
Параметры и связаны зависимостями:
Таким образом, в результате подстановки Ландена неопределённый интеграл преобразуется в неопределённый интеграл того же вида, но с другим параметром и умноженный на некий коэффициент, зависящий от нового параметра. При последовательном применении преобразования параметр стремится к 1, параметр к 0. Для этих крайних значений параметра величины неопределённых интегралов очевидны:
Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В вышеприведённых формулах мы использовали т. н. модуль эллиптического интеграла (). Этот модуль связан с модулярным углом и параметром эллиптического интеграла формулами — модулярный угол; — модуль эллиптического интеграла; — параметр эллиптического интеграла.
Легко видеть, что формулы, связывающие значения и и углы и , для случая, когда итерации начинаются с параметров и , можно представить в виде:
Если же итерации начинаются с параметров и , то формулы имеют вид:
Следует указать на некоторую особенность предложенной Ланденом замены переменной, то есть перехода независимой переменной от к . При изменении угла от 0 до /2 угол терпит разрыв. Это обстоятельство необходимо учитывать при численной реализации формулы Ландена.
В широком смысле Ланденом был открыт новый способ вычисления, причём не только эллиптических функций. Его основная идея, заключающаяся в том, что вычисляемую функцию можно представить в виде такого же вида функции, но с другими параметрами, которые при рекурсии стремятся к некоторым пределам, была в дальнейшем широко использована в вычислительной математике. Укажем, что наряду с указанной Ланденом и приведенной выше формулой замены переменной интегрирования, существуют и другие, например такая:
В результате такой замены переменной неопределённый интеграл преобразуется в следующий:
Параметры x и x1 связаны зависимостями:
Примечания
Ссылки
Корн Г., Корн Т. // Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977.
Категория:Эллиптические функции