Задача Робена, задача Ньютона, третья краевая задача, задача импедансного типа — разновидность краевой задачи для дифференциальных уравнений. Названа в честь французского математика и британского физика Исаака Ньютона.
Постановка задачи В самом общем виде задача ставится следующим образом: решить дифференциальное уравнение в частных производных, вида в области При граничных условиях следующего вида:
Такая задача называется третьей краевой задачей.
Физическая интерпретация Поскольку третьи краевые задают связь между искомой функцией и её нормальной производной на границе области, то в зависимости от решаемой задачи используются разные способы задания и интерпретации третьих краевых: Для уравнения теплопроводности задаются в виде — теплообмен по закону Ньютона-Рихмана. Для скалярных уравнений, получаемых из уравнений Максвелла, задаётся в похожем виде (если уравнение относительно напряжённости электрического поля) и означает связь между электрическим и магнитным полем на границе области. Для векторных уравнений, получаемых из уравнений Максвелла записать третьи краевые, с учётом связи , можно следующим образом:
Аналитическое решение Аналитическое решение третьей краевой задачи можно найти с помощью теории потенциала.
Численное решение В каждом численном методе решения дифференциальных уравнений свои особенности учёта третьих краевых, например: В методе конечных разностей строится разностная схема вида , где — разностный оператор и полученное уравнение добавляется в систему. В методе конечных элементов третьи краевые являются естественными и учитываются на уровне вариационной постановки, получаются добавки в матрицу и в правую части: — добавка в -й, -й элемент матрицы; — добавка в -й элемент правой части.
См. также Задача Дирихле Задача Неймана
Примечания
Категория:Дифференциальные уравнения Категория:Теория потенциала