Метод разделения переменных — метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных переменных величин, причем одни из них являются функциями других.
В применении к уравнениям в частных производных схема разделения переменных приводит к нахождению решения в виде ряда или интеграла Фурье. В этом случае метод также называют методом Фурье (в честь Жан-Батиста Фурье, построившего решения уравнения теплопроводности в виде тригонометрических рядов) и методом стоячих волн.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение, правая часть которого есть произведение функции только от на функцию только от (при этом функция является функцией от ). :
При это уравнение можно переписать в виде
.
Пусть — некоторое решение уравнения (1). Из равенства дифференциалов следует, что их неопределённые интегралы отличаются лишь произвольным постоянным слагаемым:
.
Вычисляя интегралы, получим общий интеграл уравнения (1).
Если уравнение задано в виде:
то для разделения переменных не нужно приводить его к виду (1). Достаточно разделить обе части на :
откуда получится общий интеграл
Пример Пусть
.
Разделяя переменные, получим
Интегрируя обе части последнего равенства, будем иметь
где — положительная постоянная. Отсюда
или
где — произвольная постоянная, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Решениями данного дифференциального уравнения являются также функции и . Последнее решение получается из общего решения при .
Уравнения в частных производных
Метод разделения переменных применяется для решения краевых задач для линейных уравнений второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического типов, а также для некоторых классов нелинейных уравнений и уравнений высших порядков .
Однородное уравнение
Приведем схему метода для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах:
Будем искать тождественно не равные нулю решения уравнения (2), удовлетворяющие краевым условиям (3) в виде произведения
Подставим предполагаемый вид решения в уравнение (2) и поделим на :
Левая часть равенства (6) является функцией только переменного , правая — только . Следовательно, обе части не зависят ни от , ни от и равны некоторой константе . Получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций и :
Подставляя (5) в краевые условия (3), получаем
Приходим к задаче Штурма-Лиувилля (7),(9). Эта задача имеет нетривиальные решения (собственные функции)
определяемые с точностью до произвольного множителя только при значениях , равных собственным значениям
Этим же значениям соответствуют решения уравнения (8)
где и — произвольные постоянные.
Таким образом, функции
являются частными решениями уравнения (2), удовлетворяющими условиям (3). Решение задачи (2)-(4) получается в виде бесконечной суммы частных решений
где константы и могут быть найдены из начальных условий (4) как коэффициенты Фурье функций и :
Метод разделения переменных также применим к уравнению колебаний струны общего вида
где , и — непрерывные положительные на отрезке функции. В этом случае решение строится в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля
Основополагающие работы по обоснованию метода Фурье принадлежат В. А. Стеклову. Теорема Стеклова утверждает, что при определенных условиях любая функция единственным образом разлагается в ряд Фурье по собственным функциями краевой задачи (10).
Неоднородное уравнение
Метод разделения переменных для неоднородных уравнений иногда называют методом Крылова в честь А. Н. Крылова. При решении краевой задачи для уравнения неоднородного уравнения колебаний струны
функции и разлагаются в ряды Фурье по системе собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для соответствующего однородного уравнения (2):
Подстановка полученных рядов в уравнение (11) с учетом ортогональности системы даёт уравнение относительно :
Функции могут быть найдены как решения задач Коши для уравнений (12) с начальными условиями, полученными из начальных условий исходной краевой задачи.
Программное обеспечение Xcas: split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]
См. также Ряд Фурье Задача Штурма — Лиувилля
Примечания
Литература
Категория:Дифференциальные уравнения Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных