Теорема Таубера — теорема о свойствах степенных рядов вблизи границы круга сходимости. Является простейшей обратной теоремой к теореме Абеля о сходимости степенных рядов. Доказана в 1897 году.Tauber, A. Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen (A theorem from the theory of infinite series) // Monatsh. F. Math. — 1897. — V. 8. — С. 273—277. — DOI 10.1007/BF01696278 Впоследствии была сформулирована и доказана при более общих условиях другими авторами (Теорема Абеля — Таубера).
Формулировка
Если при , и , то ряд сходится, причём к сумме .
Пояснения
Здесь равенство означает, что , когда стремится к заданному пределу (см. О-нотация).
Доказательство
Достаточно доказать, что при и выполняется
.
то есть
.
Обозначим:
,
.
Очевидно:
.
Вследствие того, что
вытекает:
.
В силу леммы правая часть стремится к нулю, так что и , при достаточно больших , получаем . Доказательство теоремы завершено.
Лемма
Если при , то .
Всегда можно найти такие числа , , , что при всех и при .
Возьмем и .
Имеем:
.
Доказательство леммы завершено.
Примечания
Литература
Таубера Категория:Тауберовы теоремы