Фу́нкция Хевиса́йда (едини́чная ступе́нчатая функция, функция едини́чного скачка, включённая едини́ца, «ступенька») — кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительныхВ теории автоматического управления и теории операторов Лапласа часто обозначается как . В англоязычной литературе часто обозначают или . См., например,
Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и тт.; 2-е изд., перераб. и доп. Т. 1: Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления / Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. — М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. — 656 с. — ISBN 5-7038-2189-4 (Т. 1).. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям, например:
Функцию Хевисайда легко записать, используя скобку Айверсона:
Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется, например, для записи эмпирической функции распределения. Названа в честь Оливера Хевисайда.
Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, , это также можно записать как (определённый интеграл является числом, для описания первообразной используется неопределённый интеграл):
Дискретная форма Можно определить дискретную функцию Хевисайда как функцию от целого аргумента :
где — целое число.
Дискретный единичный импульс является первой разностью дискретной функции Хевисайда:
Аналитические формы Для более удобного использования функцию Хевисайда можно аппроксимировать с помощью непрерывной функции:
где большему соответствует более крутой подъём функции в точке . Задавшись необходимой шириной области перехода функции Хевисайда , значение можно оценить как .
Если принять , уравнение можно записать в предельной форме:
Существует несколько других аппроксимаций непрерывными функциями:
Запись Часто используется и бывает полезной интегральная форма записи единичной функции:
Значение в нуле Значение функции в нуле часто задаётся как , или . — наиболее употребительный вариант, поскольку по соображениям симметрии в точке разрыва первого рода удобно доопределять функцию средним арифметическим соответствующих односторонних пределов, кроме того в этом случае функция Хевисайда связана с функцией знака:
что с учетом определения функции знака можно выразить как
Значение в нуле может явно указываться в записи функции:
Преобразование Фурье Производная функции Хевисайда равна дельта-функции (то есть функция Хевисайда — первообразная дельта-функции): . Следовательно, применив преобразование Фурье к первообразной дельта-функции, получим её изображение вида: , то есть:
Второй член описывает постоянное смещение функции Хевисайда вверх; без него получилась бы нечётная функция.
Другие свойства Так как производной функции Хевисайда является дельта-функция Дирака, для которой известно, что , то существует формула для производной произведения ступенчатой функции с произвольной .
История
Эта функция использовалась ещё до появления её удобного обозначения. Например, в 1830-х годах опубликовал несколько работGuillaume Libri. Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.Guillaume Libri. Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303—316., посвящённых функции . По его мнению, равен , если ; , если (см. Ноль в нулевой степени); или , если . Таким образом Либри заключает, что равняется 1, если , и 0 в противном случае. Пользуясь нотацией Айверсона, это можно было бы записать, как
Однако такой нотации в то время не было, и Либри считал достижением, что эту функцию можно выразить через стандартные математические операции. Он использовал эту функцию для выражения абсолютной величины (обозначения тогда ещё не было, оно было введено позже Вейерштрассом) и индикатора таких условий, как , и даже « является делителем »Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403—422 (arXiv: math/9205211 [math.HO] )..
См. также Прямоугольная функция Дельта-функция Переходная функция Интеграл Дюамеля
Примечания
Категория:Кусочно-линейные функции