Симплициальная категория (также симпле́кс-категория, ординальная категория)Иногда симплициальной категорией называют симплициальный объект из категории малых категорий. Кроме того, иногда таким же образом называют — категории, обогащённые над категорией симплициальных множеств. При наличии в контексте таких конструкций термина «симплициальная категория» для стараются избегать, используя альтернативные термины или только обозначение. — категория непустых конечных ординалов, морфизмы которой — монотонные функции. Играет важную роль в алгебраической топологии, является основной для таких конструкций, как симплициальный объект и симплициальное множество.
Симплициальная категория (иногда используется обозначение Как часто также обозначается категория всех линейно упорядоченных множеств, в которой симплициальная категория является полной подкатегорией) строится из объектов вида , где — натуральное число, и морфизмов таких, что из следует . Иными словами, объектами симплициальной категории являются конечные порядковые числа, а морфизмы — нестрого монотонные функции между ними. Порядковое число является начальным объектом категории, а — терминальным.
Свойства Любой морфизм симплициальной категории может быть порождён композицией морфизмов (): , , определённых следующим образом: (возрастающее инъективное отображение, «пропускающее» ), (неубывающее сюръективное отображение, принимающее значение дважды).
Более того, для всякого единственно представление: , где , , .
Эти морфизмы удовлетворяют следующим соотношениям: , если , , если ,
Данные соотношения однозначно определяют морфизмы и .
Связанные определения Порядковое сложение — бифунктор , определённый на порядковых числах как обычное сложение: , а для морфизмов и по следующей схеме: .
Симплициальная категория с порядковым сложением образует строго моноидальную категорию.
В приложениях также используется пополненная симплициальная категория () — симплициальная категория, дополненная ординалом : . Иногда пополненную симплициальную категорию называют алгебраической симплициальной категорией, в этом случае называют топологической.
Примечания
Литература
Категория:Теория категорий