Треугольник Кеплера — это прямоугольный треугольник, длины сторон которого составляют геометрическую прогрессию. При этом соотношение длин сторон треугольника Кеплера связано с золотым сечением
которое может быть записано в виде : , или приблизительно 1 : 1.272 : 1.618 Квадраты сторон этого треугольника (см. рисунок) составляют геометрическую прогрессию, соответствующую золотому сечению.
Треугольники с таким соотношением сторон были названы в честь немецкого математика и астронома Иоганна Кеплера (1571—1630), который первым продемонстрировал, что в таких треугольниках отношение длины короткого катета к гипотенузе равно золотому сечению. Таким образом, треугольник Кеплера объединяет в себе два ключевых математических понятия — теорему Пифагора и золотое сечение, по поводу чего Кеплер отметил:
В геометрии существует два сокровища: одно из них — теорема Пифагора, другое — разделение линии в золотой пропорции. Первое мы можем сравнить с массой золота, второе мы можем назвать драгоценным камнем. Иоганн Кеплер
Некоторые источники утверждают, что соотношение сторон знаменитых пирамид в Гизе приближается к треугольнику Кеплера.
Следствие Тот факт, что треугольник со сторонами , и образует прямоугольный треугольник, прямо следует из переписывания квадратного трёхчлена для золотого сечения :
в виде теоремы Пифагора:
Отношение к среднему арифметическому, среднему геометрическому и среднему гармоническому Для положительных вещественных чисел а и b их среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое являются длинами сторон прямоугольного треугольника тогда и только тогда, когда треугольник является треугольником КеплераDi Domenico, Angelo, "The golden ratio—the right triangle—and the arithmetic, geometric, and harmonic means, " The Mathematical Gazette 89, 2005..
Построение треугольника Кеплера
Треугольник Кеплера может быть построен с помощью циркуля и линейки через построение золотого сечения следующим образом: Построить простой квадрат Провести линию от середины одной стороны квадрата к противоположному углу Использовать эту линию в качестве радиуса дуги, определяющей высоту прямоугольника Дополнить до золотого сечения Использовать длинную сторону прямоугольника золотого сечения в качестве радиуса дуги, которая, пересекая противоположную сторону прямоугольника, задаёт длину гипотенузы треугольника Кеплера.
Сам Кеплер строил этот треугольник по-другому. В письме к своему бывшему учителю, профессору Михаэлю Мёстлину, он писал: «Если на линии, которая разделена в крайнем и среднем отношении, построить прямоугольный треугольник таким образом, что прямой угол будет находиться в точке раздела, то меньшая сторона будет равняться большему сегменту разделенной линии.».
Математическое совпадение Возьмём треугольник Кеплера со сторонами и рассмотрим: окружность, которая окружает его, и квадрат со стороной, равной средней по величине стороне треугольника.
Тогда периметр квадрата () и длина окружности () совпадают с точностью до 0,1 %.
Это математическое совпадение . Эти квадрат и окружность не могут иметь одинаковую длину периметра, поскольку в этом случае можно было бы решить классическую неразрешимую задачу о квадратуре круга. Другими словами, поскольку — трансцендентное число.
Примечания
Категория:Иоганн Кеплер Категория:Золотое сечение Категория:Виды треугольников