Функция Дирихле́ — функция, принимающая значение единица на рациональных числах и ноль — на иррациональных, стандартный пример всюду разрывной функции. Введена в 1829 году немецким математиком Дирихле.
Определение Символически, функция Дирихле определяется следующим образом:
Свойства Принадлежит второму классу Бэра, то есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций, но можно представить как повторный предел последовательности непрерывных функций: .
Каждая точка в области определения является точкой разрыва второго рода (причём существенного).
Является периодической функцией, её периодом является любое рациональное число, не равное нулю; основного периода функция не имеет.
Не является интегрируемой в смысле Римана. Простая функция; измерима по отношению к мере Лебега; интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю, это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.
Вариации и обобщения Вариацией функции Дирихле является функция Римана, называемая также, «функцией Тома» (Thomae).
Примечания
Литература
Ссылки Dirichlet Function — from MathWorld
Категория:Функции