Развёртка многогранника — совокупность многоугольников, соответственно равных граням многогранника, с указанием того, какие стороны и вершины многоугольников соответствуют одним и тем же рёбрам и вершинам многогранника. Модели многогранников часто склеиваются из развёрток или отдельных многоугольников с указанием сторон, которые должны быть склеены.
Развёртки платоновых тел с «крылышками» для склеивания граней Приведённые ниже развёртки — не единственно возможное решение. К примеру, для куба существует целый ряд различных развёрток, причём их число заметно увеличится, если допустить возможность создания грани не только целым квадратом из развёртки, но и треугольниками (вместе образующими квадрат грани).
Большие размерности
Свойства Существуют примеры развёрток, из которых можно склеить различные выпуклые многогранники. Известны примеры невыпуклых многогранников, не допускающих развёрток. Среди тетраэдров можно найти пример, такой что разрезание рёбер по остовному дереву даёт развёртку с самоналеганиями.
В 1975 году сформулировал гипотезу, что каждый выпуклый многогранник имеет развёртку без наложений (известна также под названием «гипотеза Дюрера»). Эта гипотеза остаётся открытой до сегодняшнего дня. Известно следующее: Для невыпуклых многогранников утверждение не верно. Некоторые многогранники, например, неправильные тетраэдры определённого типа, допускают развёртки с самоперекрытиями. Гипотеза верна для многогранников, у которых одна из граней имеет общее ребро со всеми остальными. В 2014 Мохамед Гоми доказал, что такая развёртка найдётся, если применить к многограннику аффинное преобразование определённого типа. В частности, из любого комбинаторного класса выпуклых многогранников можно выбрать многогранник, допускающий развёртку.
См. также
Паттерн (оригами) Эвольвента — развёртка кривой.
Примечания
Литература
Категория:Многогранники