Нётерово простра́нство (по имени Эмми Нётер) — топологическое пространство X, удовлетворяющее условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножеств. То есть для каждой последовательности замкнутых подмножеств пространства X такой, что:
существует целое число r, что
Это условие эквивалентно тому, что каждое подмножество компактно.
Эквивалентные определения Топологическое пространство называется нётеровым, если выполнено одно из следующих эквивалентных утверждений: удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножеств; удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей открытых подмножеств; каждое непустое семейство замкнутых подмножеств в , упорядоченное по включению имеет минимальный элемент; каждое непустое семейство открытых подмножеств в , упорядоченное по включению имеет максимальный элемент; каждое подмножество компактно (с топологией подпространства); каждое открытое подмножество компактно.
Свойства Хаусдорфово пространство нётерово тогда и только тогда, когда оно конечное (и при этом оно будет дискретным). Каждое подпространство пространства Нётер снова является пространством Нётер. Если пространство можно покрыть конечным числом нётеровых подпространств, то само нётерово. Нётерово пространство представимо в виде объединения конечного числа своих неприводимых компонент.
Примеры Нётеровы пространства часто встречаются в алгебраической геометрии. Пространство ( аффинное n-мерное пространство над полем k) с топологией Зарисского является топологическим пространством Нётер. Согласно определению топологии Зарисского в если:
есть убывающая последовательность замкнутых множеств, то:
является возрастающей последовательностью идеалов ( обозначает идеал полиномиальных функций, равных нулю в каждой точке ). Поскольку является кольцом Нётер, существует целое число , такое что:
Учитывая однозначное соответствие между радикальными идеалами и замкнутыми (в топологии Зарисского) множествами выполняется для всех i. Поэтому:
Примерами нётеровых пространств является спектры коммутативных колец. Если — кольцо Нётер, то пространство (спектр ) является нётеровым.
См. также Нётеровость
Примечания
Литература — 1184 стб. — Стб. 1028.
Ссылки Дрозд, Юрий. Введение в алгебраическую геометрию
Категория:Алгебраическая геометрия Категория:Общая топология