Теорема Чеботарёва о матрице Вандермонда (теорема о корнях из единицы) — фундаментальное утверждение в линейной алгебре и теории чисел, согласно которому все миноры матрицы Вандермонда, построенной из корней из единицы простой степени, отличны от нуля.
Установлена Николаем Чеботарёвым в 1926 году в работе по исследованию линейной независимости характеров конечных абелевых групп. Результат имеет важное значение для цифровой обработки сигналов, поскольку матрица Вандермонда для корней из единицы является матрицей дискретного преобразования Фурье.
Символическая формулировка: для простого числа и первообразного корня -й степени из единицы все миноры матрицы Вандермонда (индексы и пробегают значения от 0 до ) отличны от нуля.
Доказательство теоремы опирается на методы алгебраической теории чисел. Определитель любой подматрицы представляет собой алгебраическое целое число, принадлежащее круговому полю . Основная идея заключается в исследовании делимости этого определителя на простой идеал в кольце целых чисел . Чеботарёв показал, что если бы минор был равен нулю, это привело бы к противоречию с законами разложения простых идеалов в круговых расширениях. Позже были найдены альтернативные, более короткие доказательства.
Приложения Из теоремы вытекает не только обратимость матрицы дискретного преобразования Фурье, но и любой её подматрицы; это означает, что если сигнал конечной длины имеет в спектре Фурье пропущенные частоты, его всё равно можно однозначно восстановить по оставшимся данным, при условии, что известно достаточное количество отсчётов во временной области.
Свойства невырождённости миноров фурье-матриц напрямую связаны с принципами построения кодов с максимальным расстоянием (MDS-кодов). Хотя классические коды Рида — Соломона строятся над конечными полями (где действуют другие законы), теорема Чеботарёва обеспечивает математическую базу для аналогичных кодов и алгоритмов декодирования над полем комплексных чисел.
В 2005 году Теренс Тао использовал теорему Чеботарёва для доказательства сильного принципа неопределённости для циклических групп простого порядка, установив, что для любого ненулевого сигнала в сумма размеров носителя самого сигнала и носителя его преобразования Фурье всегда строго больше .
Литература
Чеботарёв Н. Г. О корнях из единицы, принадлежащих полиному. — Журнал Русского физико-математического общества, сер. 2, т. 14 (1926), с. 201—207. Tao, T. An uncertainty principle for cyclic groups of prime order. — Mathematical Research Letters, 12(1) (2005), 121—127. Stevenhagen, P., & Lenstra, H. W. Chebotarëv and his density theorem. — The Mathematical Intelligencer, 18(2) (1996), 26-37.
Чеботарёва Категория:Цифровая обработка сигналов