Имплика́ция (от — связь, сплетение) — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к смыслу союзов «если…, то…».
Импликация записывается как посылка следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие.
Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами: посылка является условием, достаточным для выполнения следствия: следствие является условием, необходимым для истинности посылки.
Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законы.
При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением.
Булева логика Импликация булевой логике — функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции), переменные могут принимать значения из множества . Результат также принадлежит множеству . Вычисление результата производится по простому правилу либо по таблице истинности. Вместо значений может использоваться любая другая пара подходящих символов, например и , или и или «ложь», «истина».
Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, операция — это сокращённая запись выражения .
Прямая импликация (материальная импликация, материальный кондиционал; от к , )) задаётся таблицей истинности: {| class="wikitable" ! ! !
если первый операнд не больше второго операнда, то 1, если , то истинно (1).
В курсах логики для запоминания таблицы истинности используется следующая модель: А — начальник, он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0), В — подчинённый; он может работать (1) или бездельничать (0), в таком случае импликация — не что иное, как послушание подчинённого начальнику: по таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчинённый бездельничает.
Обратная импликация (от к , ): {| class="wikitable" ! ! !
если первый операнд не меньше второго операнда, то 1, если , то истинно (1). Обратная импликация — отрицание обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).
Отрицание прямой импликации, коимпликация (): {| class="wikitable" ! ! !
если первый операнд больше второго операнда, то 1, если , то истинно (1).
Отрицание обратной импликации, обратная коимпликация (), разряд займа в двоичном полувычитателе: {| class="wikitable" ! ! !
если первый операнд меньше второго операнда, то 1, если , то истинно (1).
Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.
Синонимические импликации выражения в русском языке Если А, то Б Б в том случае, если А При А будет Б Из А следует Б В случае А произойдёт Б Б, так как А Б, потому что А А — достаточное условие для Б Б — необходимое условие для А А имплицирует Б А влечёт Б
Многозначная логика
Классическая логика В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.
Можно доказать эквивалентность импликации формуле (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле , которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)). Поэтому любое высказывание можно заменить на эквивалентное ему без знаков импликации.
Интуиционистская логика В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям: отрицание можно представить в виде , где — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.
В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.
Примечания
Литература
Барабанов О. О. Импликация / Труды XI международных Колмогоровских чтений: сборник статей. — Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2013. — С. 49—53. Климзо Б. Н. Ремесло технического переводчика. — : Р.Валент, 2003. — 288 с. — С. 75—84. Швейцер А. Д. Перевод и лингвистика. — : Воениздат, 1973.
Ссылки Импликация и эквивалентность Импликация в учебнике MathIt
Категория:Логика высказываний Категория:Логические элементы