Теоре́ма Вейерштра́сса о равноме́рно сходя́щихся ряда́х аналити́ческих фу́нкцийПеревод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи, или просто теорема Вейерштрасса, или теорема Вейерштрасса о рядах (1859) — следующая теорема комплексного анализа, раздела математики.
Если бесконечный ряд функций, аналитических в некоторой области комплексной плоскости, сходится равномерно в любой замкнутой подобласти данной области, то: 1) сумма ряда определяет аналитическую функцию в исходной области; 2) ряд можно дифференцировать любое количество раз.
Следствие. Сумма степенного ряда есть аналитическая функция в произвольной области, в которой он равномерно сходится.
Теорема Вейерштрасса определяет условия, при которых сумма сходящегося ряда аналитических функций будет снова аналитической. Этим условием и является равномерная сходимость ряда в данной области или как минимум в любой замкнутой подобласти.
Первая часть теоремы Вейерштрасса говорит о том, что равномерный переход к пределу сохраняет свойство аналитичности, вторая — что для аналитических функций условия почленного дифференцирования рядов проще, чем в обычном анализе.
Существует эквивалентная формулировка теоремы Вейерштрасса, в которой вместо сходящего ряда используется сходящаяся последовательность. Также при доказательстве теоремы Вейерштрасса о рядах могут сразу перейти к последовательностям.
Теорема Вейерштрасса лежит в основе изучении одинарных и кратных рядов, составленных из аналитических функций. Теорема специфична не для действительных, а именно для комплексных функциональных рядов. Для действительных чисел нет такой простой теоремы, поскольку равномерно сходящийся ряд действительных функций в общем случае почленно не дифференцируется. Для почленного дифференцирования ряда действительных функций требуется не только сходимость ряда, но ещё и равномерная сходимость ряда из производных.
Применяя теорему Вейерштрасса, нельзя забывать, что она говорит о рядах голоморфных функций, которые сходятся в области, то есть в открытом связном множестве. В случае неоткрытого множества теорема Вейерштрасса может быть неверна.
Авторы могут говорить не об одной теореме Вейерштрасса, а о двух, нумеруя обе части теоремы: первая и вторая теоремы Вейерштрасса.
С другой стороны, эту теорему иногда называют первой теоремой Вейерштрасса, подразумевая под второй теоремой Вейерштрасса теорему Вейерштрасса о равномерной сходимости на границе области.
Теорема Вейерштрасса обобщается на ряды аналитических функций многих комплексных переменных, сохраняя название и формулировку. Также интегрирование функции по кривой или поверхности, замыкание которых принадлежит исходной ограниченной области, производится почленным интегрированием исходного ряда. Аналогичные предложения имеют место и для кратных рядов, составленных из голоморфных функций. Доказательство этих теорем осуществляется так же, как в случае одного переменного.
Теорема Вейерштрасса на комплексной плоскости
Первая часть теоремы Вейерштрасса
Первая часть теоремы Вейерштрасса. Дано: бесконечный ряд функций , аналитических в некоторой области комплексной плоскости , , причём ряд равномерно сходится к сумме в любой замкнутой области , полностью находящейся в исходной области , . Доказать: в области функция аналитическая.
При доказательстве первой части теоремы Вейерштрасса всегда используется интегральной формулы Коши, тогда как вторая часть теоремы Вейерштрасса следует из неравенств Коши.
Приведём четыре разных доказательства первой части этой теоремы. Первое доказательство, кроме интегральной формулы Коши, использует теорему об интегрировании равномерно сходящегося ряда, второе доказательство — теорему Мореры. Третье доказательство непосредственное и универсальное, по его схеме доказывается также и вторая часть теоремы Вейерштрасса. При четвёртом доказательстве осуществляется переход от рядов функций к последовательностям функций.
Следствие. Сумма следующего степенного ряда
есть аналитическая функция в произвольной области, в которой он равномерно сходится.
Вторая часть теоремы Вейерштрасса
Вторая часть теоремы Вейерштрасса. Дано: бесконечный ряд функций , аналитических в некоторой области комплексной плоскости , , причём этот ряд равномерно сходится к сумме в любой замкнутой области , полностью находящейся в исходной области , . Доказать: при дифференцировании этого ряда любое количество раз возникает новый ряд , также равномерно сходящийся в любой замкнутой области и определяющий соответствующую производную функции .
Если ряд
сходится равномерно во всей области , то ряд из производных , будет сходиться вовсе не в этой же области , а только в любой замкнутой области (компакте) , целиком лежащей в . Например, ряд
сходится равномерно в даже замкнутом круге , поскольку в этом круге сходящийся ряд
его мажорирует. Но ряд из его производных
сходится равномерно не в открытом круге , а в любом меньшем замкнутом круге , , поскольку он расходится при .
Приведём два разных доказательства первой части этой теоремы. При втором доказательстве осуществляется переход от рядов функций к последовательностям функций.
Доказательство с использованием рядов Тейлора Рассмотрим бесконечную последовательность степенных рядов
с радиусами сходимости, большими некоторого числа . Построив круг , получим, что все эти ряды сходятся как внутри, так и на границе круга .
Теорема о равномерной сходимости степенных рядов. Дано: степенной ряд функций , равномерно сходящийся на окружности круга . Доказать: в любой внутренней точке круга , , справедливо равенство , где — новые степенной ряд, образованный формальным сложением всех степенный рядов, находящихся в левой часи равенства.
Положим , тогда теорема утверждает, что ряды коэффициентов
сходятся при каждом а ряд
сходится во всех внутренних точках круга , причём имеет место следующее равенство: .
Эта теорема просто переносится на ряды по степеням комплексных выражений или . Из этой этой теоремы вытекает следующая теорема Вейерштрасса для аналитических функций.
Теорема Вейерштрасса о рядах. Дано: бесконечный ряд функций , аналитических в некоторой области комплексной плоскости , , причём ряд равномерно сходится к сумме в любой замкнутой области , полностью находящейся в исходной области , . Доказать: 1) в области функция аналитическая; 2) при дифференцировании этого ряда любое количество раз возникает новый ряд , также равномерно сходящийся в любой замкнутой области и определяющий соответствующую производную функции .
Равномерная сходимость внутри области Равномерная сходимость внутри области — равномерная сходимость ряда функций в точках любой ограниченной замкнутой области , полностью находящейся в области , , .
Произвольное множество , замыкание которого принадлежит некоторому другому множеству , , называется предкомпактным в , или компактным относительно , или строго содержащимся в . Такое отношение двух множеств обозначается .
Некоторые авторы используют термин «равномерная сходимость» для сокращения теста. Любой ряд функций, просто равномерно сходящийся в области, сходится равномерно и в каждой её замкнутой подобласти и, следовательно, равномерно сходится внутри области. Обратное, в общем случае, неверно, как следует из следующего примера.
Пример. Рассмотрим геометрический ряд , который сходится в единичном круге неравномерно. При этом он равномерно сходится внутри единичного круга. Докажем это утверждение. Возьмём любую замкнутую подобласть единичного круга, и пусть расстояние от неё до границы исходной области — единичной окружности — равно . Тогда для произвольной точки получаем , откуда имеем, что величина
стремится к нулю при и всегда может быть меньше любого при некотором . В итоге получили, что геометрический ряд равномерно сходится на всех точках любой замкнутой подобласти единичного круга и, следовательно, равномерно сходится внутри единичного круга, хотя и не сходится равномерно в единичном круге.
Примеры рядов, сходящихся не в области Чтобы правильно использовать теорему Вейерштрасса, необходимо учитывать, что она сформулирована и доказана для рядов аналитических функций, равномерно сходящихся в области. Когда ряд равномерно сходится на любом не открытом множестве, теорема может быть неверна.
По теореме Вейерштрасса в следующих двух примерах не существует области, которая включала бы точки всей действительной оси или хотя бы её произвольной части, в которой представленные ряды сходились бы равномерно. Иначе эти ряды вошли бы в противоречие с теоремой Вейерштрасса.
Пример 1 (Вейерштрасс). Рассмотрим функцию , где — нечётное целое число, . Этот ряд есть сумма функций, аналитических во всех точках действительной оси и даже во всех точках комплексной плоскости. Ряд равномерно сходится на действительной оси, так как абсолютная величина общего члена ряда , где — сходящийся геометрический ряд. Но сумма ряда даже не аналитическая функция в точках действительной оси, поскольку, по результатам Вейерштрасса, эта сумма не дифференцируема ни при каких .
Пример 2. Рассмотрим функциональный ряд , члены которого суть функции, аналитические во всех точках действительной оси и даже во всех точках комплексной плоскости. И этот ряд сходится равномерно на действительной оси. Кроме того, его сумма, тождественно равная нулю, есть аналитическая функция. Действительно, частичная сумма этого ряда равна , а , следовательно, этот ряд сходится равномерно к нулю. Онако при почленном дифференцировании получается ряд , частичные суммы которого равны , следовательно, последовательность этих сумм расходится при любом , а при сходится к единице — величине, не равной производной от суммы ряда.
Пример 3. Функциональный ряд равномерно сходится для все вещественных . Однако ряд первых производных сходится уже неравномерно около точек , где — произвольное целое число, тогда как ряд вторых производных вовсе не сходится.
Применения теоремы Вейерштрасса Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости на границе области Вейерштрасс доказал теорему, которой посвящена статья, без использования интеграла Коши. Он использовал так называемый элементарный метод, который основан на разложении голоморфных функций в ряд Тейлора. Но приведённые в статье доказательства с применением интеграла Коши по сути почти непосредственные и, кроме того, позволяют создать другую формулировку теоремы Вейерштрасса, которая используется в некоторых случаях. Эта новая формулировка определяется тем, что равномерная сходимость ряда или последовательности функций была использована только на границе области. В итоге получается следующая теорема.
Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости на границе области. Дано: бесконечный ряд функций , аналитических в некоторой области комплексной плоскости , , и непрерывных в замкнутой области , причём ряд равномерно сходится на границе области . Доказать: во всей замкнутой области ряд также равномерно сходится.
Первое доказательство основано на принципе максимума модуля, второе непосредственно использует определение производной.
Доказанное свойство рядов аналитических функций верно также для аналитических или гармонических функций, определённых в областях как комплексного пространства , , так и евклидова пространства , . Более того, доказанное свойство рядов аналитических функций верно всегда, когда применим принцип максимума модуля.
Теорема Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций Обе теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах функций
непосредственно распространяются на следующие равномерно сходящиеся последовательности функций:
В английской терминологии название теоремы Вейерштрасса таково, что оно подходит сразу для обоих формулировок теоремы (для рядов и для последовательностей): «предельная теорема Вейерштрасса», или «Теорема Вейерштрасса о голоморфности однородных пределов».
Действительно, указанная последовательность функций представляется как последовательность частичных сумм следующего ряда функций: