Подгруппа ― подмножество группы , само являющееся группой относительно группового умножения на .
Подмножество группы является её подгруппой тогда и только тогда, когда: содержит нейтральный элемент из содержит произведение любых двух элементов из , содержит вместе со всяким своим элементом обратный к нему элемент .
В случае конечных и, вообще, периодических групп третье условие является следствием первых двух.
Примеры Подмножество группы , состоящее из одного элемента , будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы . Сама также является своей подгруппой.
Связанные определения Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе. Сама группа и единичная подгруппа называется несобственными подгруппами группы , все остальные ― собственными. Пересечение всех подгрупп группы , содержащих все элементы некоторого непустого множества , называется подгруппой, порождённой множеством , и обозначается . Если состоит из одного элемента , то называется циклической подгруппой элемента . Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой. Если группа изоморфна некоторой подгруппе группы , то говорят, что группа может быть вложена в группу . Если — подгруппа группы , то для любого подмножество
является подгруппой. При этом подгруппы и называются сопряжёнными.
Основные свойства Пересечение подгрупп А и В также является подгруппой. Все подгруппы образуют полную решетку по включению, называемую решеткой подгрупп. Непустое множество является подгруппой группы тогда и только тогда, когда для любых выполняется Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы является подгруппой группы . Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп и называется подгруппа, порожденная объединением множеств . Гомоморфный образ подгрупп ― подгруппа. Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда ещё не следует изоморфизм самих этих групп.
Смежные классы Для подгруппы и некоторого элемента , определяется левый смежный класс . Количество левых смежных классов подгруппы называется индексом подгруппы в и обозначается . Аналогично можно определить правые классы смежности .
Если левые и правые классы смежности подгруппы совпадают, то она называется нормальной. Это свойство даёт возможность построить факторгруппу группы по нормальной подгруппе .
Литература
Категория:Теория групп