Абсолютная группа Галуа поля — группа Галуа над , где — сепарабельное замыкание . Также определяется как группа всех автоморфизмов алгебраического замыкания поля , которые оставляют неподвижным. Абсолютная группа Галуа уникальна с точностью до изоморфизма. Является проконечной группой.
(Если — совершенное поле, совпадает с алгебраическим замыканием поля . Например, это верно для полей характеристики 0 и конечных полей.)
Примеры Абсолютная группа Галуа алгебраически замкнутого поля тривиальна. Абсолютная группа Галуа действительных чисел — циклическая группа, состоящая из двух элементов (комплексного сопряжения и тождественного отображения), так как — сепарабельное замыкание и . Абсолютная группа Галуа конечного поля изоморфна группе Здесь — проективный предел.
Автоморфизм Фробениуса — канонический (топологический) генератор (, где — число элементов в ). Абсолютная группа Галуа поля рациональных функций с комплексными коэффициентами является свободной проконечной группой, . В более общем случае, пусть — алгебраически замкнутое поле и — переменная. Тогда абсолютная группа Галуа поля — свободная группа ранга равного мощности . Пусть — конечное расширение p-адических чисел . Для , его абсолютная группа Галуа порождается элементами и имеет явное описание в терминах образующих и соотношений. Абсолютная группа Галуа определена для наибольшего чисто вещественного подполя поля алгебраических чисел.
Открытые проблемы Неизвестно явное описание абсолютной группы Галуа рациональных чисел. В этом случае из теоремы Белого следует, что абсолютная группа Галуа имеет эффективное действие на Гротендика, что позволяет представить в наглядном виде теорию Галуа полей алгебраических чисел. Гипотеза Шафаревича утверждает, что абсолютная группа Галуа максимального абелева расширения рациональных чисел — свободная проконечная группа.
Примечания
Категория:Теория Галуа