V matematike sa pojmom podgrupa grupy G = (G, *) označuje grupa H = (H, *H), ak je H podmnožinou G a *H je podmnožinou operácie *.
V nasledujúcom texte sa namiesto zápisu a*b používa skrátené ab.
Základné vlastnosti podgrup Podgrupa je grupa H je podgrupa grupy G, práve keď je neprázdna a je uzavretá na operáciu * (to znamená, že ak a, b ∈ H, potom ab ∈ H) a na inverziu (tzn. ak a ∈ H, potom a-1 ∈ H) Neutrálny prvok v G sa rovná neutrálnemu prvku v H Inverzný prvok v G sa rovná inverznému prvku v H
Osobitné prípady podgrup Každá grupa obsahuje dve tzv. nevlastné podgrupy (tiež triviálne podgrupy), seba samu a podgrupu obsahujúcu len neutrálny prvok (tá je vlastne zároveň triviálnou grupou). Ostatné podgrupy označujeme ako vlastné (alebo netriviálne). Ak je S podmnožina G, existuje najmenšia podgrupa grupy G obsahujúca S. Táto podgrupa sa značí <S> a volá sa podgrupa generovaná množinou S (v prípade, že S je jednoprvková, píšeme podgrupu ako <a> miesto <{a}>). Zvlášť významné sú normálne podgrupy spĺňajúce
Referencie
Kategória:Teória grúp