Vektorový priestor (niekedy sa používa aj pomenovanie lineárny priestor) je abstraktný pojem, ktorý má mnohé použitia v matematike. Je predmetom skúmania algebraickej disciplíny lineárna algebra.
"Vektory" nemusia byť vektormi tak, ako ich chápeme v geometrii, môže to byť ľubovoľný matematický objekt spĺňajúci nasledujúce axiómy vektorového priestoru; napríklad polynómy stupňa ≤n s reálnymi koeficientami z vektorového priestoru.
Definícia Nech F je pole. Nech V je množina, na ktorej je daná binárna operácia "+", a nech je každému , priradený prvok , pričom: 1) je komutatívna grupa pre ľubovoľné , V a c,d F platí: 2) (distributívny zákon) 3) 4) (asociativita) 5) potom je vektorový priestor nad poľom .
Vektorové priestory vo fyzike Bra-Ket formalizmus Vektory tvoria vektorový priestor (alebo lineárny priestor), ak ich ľubovoľná lineárna kombinácia
patrí taktiež do tohoto priestoru.
Pri aplikáciách v kvantovej mechanike môžu byť koeficienty komplexné čísla. Priestoru ket-vektorov je antilineárne priradený duálny priestor bra-vektorov:
,
kde hviezdička označuje komplexné združenie. V konkrétnom prípade vlnovej mechaniky sú ket-vektory vlnové funkcie a bra-vektory sú komplexne združené vlnové funkcie . Skalárny súčin
je definovaný pre ľubovoľnú dvojicu ket-vektor a bra-vektor . Skalárny súčin je komplexné číslo a má tú vlastnosť, že
.
Dôsledkom toho je, že je reálne číslo. Taktiež požadujeme, aby bolo kladné:
.
Za týmto požiadavkom sa skrýva predstava, že zodpovedá druhej mocnine dĺžky vektoru . V konkrétnom vyjadrení vlnovej mechaniky zodpovedá skalárny súčin integrálu
, ktorý má zjavne vlastnosť , rovnako ako
má vlastnosť , pretože je kladné.
Vzťah medzi ket-vektormi a fyzikálnymi stavmi zodpovedá tzv. paprskovej reprezentácii. To znamená, že a vyjadrujú rovnaký fyzikálny stav pre ľubovoľné nenulové komplexné číslo .
Pozri aj Vektor (matematika) Vektorový podpriestor
Iné projekty
Kategória:Lineárna algebra