náhľad| Vennov diagram pre . Symetrická diferencia množín je zjednotenie množín bez ich prieniku. 40px 40px 40px náhľad| Vennov diagram pre 40px 40px 40px
Symetrická diferencia alebo symetrický rozdiel dvoch množín je v teórii množín množina tých prvkov, ktoré patria práve do jednej z množín. Obsahuje teda všetky prvky z oboch množín, ktoré sa nenachádzajú v ich prieniku.
Symetrická diferencia množín A a B sa značí ako
alebo
alebo
Napríklad symetrická diferencia množín a je množina . Symetrická diferencia množín dievčat a študentov je množina všetkých dievčat, ktoré nie sú študentky a všetkých chlapcov študentov.
Vlastnosti Symetrická diferencia je ekvivalentná so zjednotením oboch rozdielov množín:
a môže byť tiež vyjadrená ako zjednotenie dvoch množín bez ich prieniku:
alebo cez prvky pomocou logickej operácie XOR:
Z definície vyplýva, že symetrická diferencia je vždy (vlastnou alebo nevlastnou) podmnožinou zjednotenia množín:
pričom rovnosť v tejto neostrej inklúzii platí vtedy a len vtedy, ak a sú disjunktné množiny.
Symetrická diferencia je komutatívna a asociatívna:
Prienik je distributívny nad symetrickou diferenciou:
Prázdna množina je neutrálnym prvkom symetrickej diferencie a každá množina je svojím vlastným inverzným prvkom vzhľadom na symetrickú diferenciu:
Potenčná množina každej množiny sa teda stáva abelovskou grupou so symetrickou diferenciou ako operáciou a prázdnou množinou ako neutrálnym prvkom, kde neutrálny prvok a každý ďalší prvok grupy je svojím vlastným inverzným prvkom.
Referencie
Iné projekty
Zdroj
Kategória:Teória množín Kategória:Binárne operácie