Báza vektorového priestoru je množina lineárne nezávislých vektorov, ktorých lineárnym obalom je priestor . Každý vektor z sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia bázových vektorov. Teda voľba bázy súčasne každému vektoru priraďuje súradnice - koeficienty takejto lineárnej kombinácie.
Definícia
Nech je vektorový priestor nad poľom a .
Množina je lineárne nezávislá, ak pre ľubovoľné vektory z rovnosti vyplýva . Množina generuje priestor , ak každý vektor sa dá vyjadriť ako pre nejaké . Inak povedané, lineárny obal množiny je celý priestor , t.j. .
Ak je lineárne nezávislá množina a súčasne generuje priestor , tak hovoríme, že je báza priestoru . Ekvivalentná podmienka je, že každý vektor sa dá vyjadriť práve jedným spôsobom ako lineárna kombinácia konečne veľa vektorov z . Koeficienty tejto lineárnej kombinácie voláme súradnice daného vektora vzhľadom na bázu ,
V prípade, že je konečná množina, tak sa uvedené definície dajú sformulovať o čosi jednoduchšie. Na miestach, kde sme v uvedených definíciách potrebovali vybrať konečnú podmnožinu z môžeme zobrať priamo celú bázu. T.j. môžeme definície sformulovať tak, že namiesto .
Vlastnosti
Ak je ľubovoľná lineárne nezávislá množina v priestore , tak existuje báza obsahujúca . Ak je množina, ktorá generuje priestor , tak existuje báza taká, že . Ľubovoľné dve bázy daného priestoru majú rovnakú kardinalitu. Túto kardinalitu nazývame dimenzia priestoru . Obrazy prvkov bázy jednoznačne určujú lineárne zobrazenie. T.j. ak máme bázu priestoru a zobrazenie , kde je vektorový priestor nad tým istým poľom, tak existuje práve jedno lineárne zobrazenie také, že . (Opäť, v konečnorozmernom prípade je formulácia o čosi zrozumiteľnejšia. Ak máme bázu pozostávajúcu z vektorov a poznáme obrazy , tak pre vektor nutne musíme mať . Dá sa overiť, že tento predpis skutočne definuje lineárne zobrazenie z do .)
Príklady bázy Majme nejaký vektorový priestor a podmnožinu takú, že lineárny obal tejto množiny je rovný priestoru , teda platí: .
Príklad 1.: nech a . Je zrejmé, že platí rovnosť . Avšak vektory sú lineárne závislé, pretože platí: , naproti tomu, vektory sú lineárne nezávislé, preto vektory tvoria bázu vektorového priestoru (samozrejme aj vektorového priestoru ).
Príklad 2.: Nech je daný vektorový priestor . Vektory sú lineárne nezávislé a preto tvoria bázu vektorového priestoru .
Nekonečnorozmerný prípad
Niektorí autori používajú v nekonečnorozmernom prípade názov Hamelova báza, na odlíšenie od niektorých iných typov báz používaných pre nekonečnorozmerné priestory. (Napríkad Schauderova báza v Banachových priestoroch alebo ortonormálna báza v Hilbertových priestoroch.) Niekedy sa však tento termín používa špecificky pre bázu ako vektorového priestoru nad .
Najjednoduchší príklad nekonečnorozmerného priestoru je priestor dimenzie . Takýto priestor môžeme dostať napríklad ako priestor , pozostávajúci z postupností reálnych čísel, ktoré majú iba konečne veľa nenulových členov. Priestor je vektorový priestor nad , jeho báza pozostáva z postupností , , kde obsahuje jedinú jednotku na -tom mieste. T.j. , , atď.
Pre mnohé nekonečnorozmerné vektorové priestory nevieme explicitne popísať bázu. Tvrdenie, že každý vektorový priestor má bázu, je ekvivalentné s axiómou výberu.
Ľubovoľný nekonečnorozmerný Banachov priestor má dimenziu aspoň . Z toho napríklad vidíme, že ak má lineárny normovaný priestor spočítateľnú Hamelovu bázu, tak nemôže byť úplný.
Referencie
Literatúra
Pozri aj
Lineárny obal Lineárna závislosť Podmnožina Vektorový priestor
Iné projekty
Kategória:Lineárna algebra