Skalárny súčin alebo vnútorný súčin (z angl. inner product) je v matematike symetrická bilineárna forma na vektorovom priestore nad poľom , t.j. zobrazenie , ktoré ľubovoľným elementom priradí skalár .
V analytickej geometrii sa väčšinou používa tzv. štandardný skalárny súčin, ktorý dvom vektorom priradí číslo
pričom a sú súradnice vektorov a . Skalárny súčin taktiež vieme vyjadriť pomocou uhla zovretého týmito vektormi. V tom prípade platí
kde značí veľkosť vektora.
Definícia Abstraktne vieme skalárny súčin na vektorom priestore nad poľom reálnych čísel definovať ako binárnu operáciu , ktorá pre ľubovoľné vektory a skalár spĺňa
Týmto vlastnostiam sa postupne hovorí aditivita, homogenita, symetria a kladná definitnosť. Priestor s týmto skalárnym súčinom sa nazýva Euklidovský priestor, ak je konečnorozmerný.
Skalárny súčin vieme definovať aj pre priestory nad poľom komplexných čísel. Definícia je až na symetriu rovnaká ako v reálnom prípade. Symetria skalárneho súčinu sa ale nahrádza kosou symetriou, podľa ktorej pre ľubovoľné vektory platí
kde značí komplexné združenie. Takýmto vektorovým priestorom s komplexným skalárnym súčinom sa vraví unitárne priestory.
Príklady Nech je vektorový priestor stĺpcových vektorov nad poľom , pričom značenie "" znamená transpozíciu. Potom štandardný skalárny súčin, definovaný ako
pre ľubovoľné dva vektory je skalárny súčin v zmysle hornej definície.
Nech je priestor všetkých polynómov stupňa nanajvýš nad poľom premennej a nech sú dva takéto polynómy. Potom integrál
definuje komplexný skalárny súčin v zmysle hornej definície.
Referencie
Iné projekty
Kategória:Lineárna algebra