Pojem priemer v matematike označuje vypočítanú hodnotu zo všetkých alebo len z určitej časti prvkov množiny, ktorá môže byť tvorená nielen skalárnymi veličinami, ale aj funkciami a pod. Táto matematická metóda má využitie hlavne v štatistike a pravdepodobnosti, teórii množín, geometrii, matematickej analýze ai. Priemer sa zvyčajne označuje vodorovnou čiarou nad písmenom premennej, napr. , a pod. V prípade, že je nutné uviesť aj druh priemeru je zvykom túto informáciu zapísať v ľavom dolnom indexe, napr. pre aritmetický priemer a obdobne, ale nie je to záväzné pravidlo.
Tento článok uvádza stručné definície najbežnejších priemerov používaných v matematike.
Aritmetický priemer Zrejme najčastejšie používaný druh priemeru, ktorý spočíva v podiele súčtu prvkov množiny a počtom prvkov v množine. V anglofónnom prostredí často označovaný ako AM (arithmetic mean).
Príklad pre množinu :
.
Geometrický priemer Geometrický priemer je definovaný pre každé . Označovaný aj ako GM (geometric mean).
Príklad pre množinu :
Harmonický priemer Tento priemer pracuje s prevrátenými hodnotami a značí sa aj ako HM (harmonic mean).
Príklad pre množinu :
.
Tri predchádzajúce priemery sú súhrnne nazývané pytagorejské pretože sa s nimi už zaoberali antickí pytagorejci a ich nasledovatelia.
Vzťahy medzi týmito tromi priemermi vyjadrené nerovnicou sú:
.
Kvadratický priemer Často označovaný ako RMS (root mean square) alebo QM (quadratic mean).
.
Príklad pre množinu :
.
Vzťahy medzi predchádzajúcimi priemermi vyjadrené nerovnicou sú:
.
Minkowského vzorec Generalizovaný vzorechttps://people.revoledu.com/kardi/tutorial/BasicMath/Average/Minkowski%20mean.html pre výpočet aritmetického, kvadratického a harmonického priemeru zaviedol do matematiky nemecký matematik Hermann Minkowski.
kde . Pre aritmetický priemer , pre harmonický a pre kvadratický , ale obdobne je možné pomocou tohto vzorca vypočítať kubický priemer, kvartický priemer a pod.
Aritmeticko-geometrický priemer AGM je definovaný pre dve dve kladné čísla a , pre ktoré platí . Formálne je AGM definovaný ako limita dvoch nezávislých sekvencií a , ktoré konvergujú k rovnakej hodnote.
.
Aritmeticko-harmonický priemer AHM, respektíve ním generované sekvencie a konvergujú k hodnote geometrického priemeru a .
.
Geometricko-harmonický priemer GHM je definovaný pre dve kladné čísla a .
.
Pre AGM, AHM a GHM platí nerovnica
Herónov priemer Herónov priemer, využívaný hlavne v geometrii, je definovaný pre dve nezáporné reálne čísla a , priemer je pomenovaný podľa Heróna z Alexandrie. Vypočíta sa podľa vzorca
Referencie
Iné projekty
Kategória:Teória čísel Kategória:Štatistika