V matematike je Cauchyho integrálna formula jedno z centrálnych tvrdení komplexnej analýzy. Formula je pomenovaná na počesť francúzskeho matematika Augustina-Louis Cauchyho. Cauchyho integrálna formula umožňuje jednoduchý výpočet komplexných krivkových integrálov po uzavretých krivkách; poskytuje taktiež prepojenie medzi deriváciami a integrálmi (napr. v podobe Taylorovej vety).
Tvrdenie Nech je oblasť (t.j. otvorená podmnožina komplexnej roviny) a nech je otvorená množina. Ďalej, nech je holomorfná funkcia na , potom
. Obdobnou podobou Cauchyho integrálnej vety je forma, kde sa integruje po kružnici s ľubovoľne malým polomerom a stredom v bode
Dôkaz Predtým, než sa pustíme na dôkaz Cauchyho formuly, si dokážeme pomocnú lemu. Dôkaz predpokladá znalosť Cauchyho integrálnej vety a elementárnej komplexnej analýzy.
Lema Nech je otvorená podmnožina komplexnej roviny , a nech je holomorfná funkcia. Nech je otvorená množina, ktorej hranica pozostáva z (n+1) po častiach hladkých Jordanovských kriviek: s ACW orientáciou (kladná orientácia) a s CW orientáciou (záporná orientácia). Predpokladajme, že existuje otvorená podmnožina taká, že a všetky ležia vo vnútri . Potom:
Dôkaz lemy Nech je jednoducho súvislá oblasť, ktorej hranica je tvorená z krivky , kriviek s ACW orientáciou a kriviek , pričom tieto krivky máme "dvakrát," raz s ACW, raz s CW orientáciou. Krivka spája s . Na základe Cauchyho integrálnej vety (CIV), ktorá vraví, že integrál po hranici jednoducho súvislej oblasti je nulový máme
ale keďže
dostávame
čo sme chceli ukázať.
Dôkaz Cauchyho formuly Nech platia predpoklady lemy a . Vezmime také , že uzavretý kruh so stredom v bode nemá s krivkami prienik. Označme , potom , kde označuje sféru s polomerom (orientácia je záporná). Na základe lemy máme
teda
Ukážeme teraz, že limita
Stačí si uvedomiť, že (integrál je logaritmus, ktorý na uzavretej krivke je rovný )
potom
pričom značí krivkový integrál prvého druhu funkcie . Ďalej využijeme fakt, že integrujeme po kružnici s polomerom a spojitosť (resp. holomorfnosť) funkcie
pričom je dostatočne malé reálne číslo. Dostávame teda
teda rozdiel
môžeme urobiť ľubovoľne malým, dokázali sme teda danú limitu. Keďže integrál holomorfnej funkcie nezávisí na polomere integračnej sféry, dostávame
čo sme chceli ukázať.
Taylorova veta a zovšeobecnená Cauchyho integrálna formula Pomocou Cauchyho integrálnej formuly vieme odvodiť koeficienty Taylorovho radu holomorfnej funkcie. Porovnanie s klasickou Taylorovou formulou poskytuje informáciu, že "diferencovanie je ekvivalentné integrovaniu." Tento výsledok platí iba v komplexnej analýze; v reálnej analýze neplatí.
Taylorova veta Nech je oblasť a nech je holomorfná funkcia na . Ďalej, nech , je kladné reálne číslo, potom pre každé komplexné číslo z otvoreného kruhu s polomerom a stredom v bode platí
pričom koeficienty sú určené vzťahom
kde . Uvedený potenčný rad nazývame Taylorovym radom funkcie , nazývame stredom radu.
Dôkaz Taylorovej vety Vezmime fixné , označme a . Z Cauchyho integrálnej vety máme
Ďalej si všimneme, že platí
pričom v poslednej rovnosti sa využili poznatky o súčte geometrického radu:
Dostávame
Podľa Weierstrassovho M-testu uvedený rad konverguje rovnomerne a absolútne, teda nasledujúce úpravy sú oprávnené (výmena sumácie a integrovania):
čo bolo treba dokázať.
Zovšeobecnená Cauchyho integrálna formula Taylorova formula štandardne uvádza koeficienty holomorfnej (resp. analytickej) funkcie ako podiel n-tej derivácie v strede Taylorovho radu a n faktoriálu:
Porovnaním tejto štandardnej formuly s nami odvedenou dostávame tzv. zovšeobecnenú Cauchyho integrálnu formulu:
Využitie Cauchyho integrálnej formuly
Výpočet komplexných krivkových integrálov Vypočítajme komplexný krivkový integrál
Na základe lemy vieme integrál prepísať ako
použijeme Cauchyho integrálnu formulu, dostávame tak
Referencie
Kategória:Komplexná analýza Kategória:Eponymické termíny v matematike Kategória:Integrálny počet