Dvojčlen alebo binóm alebo mnohočlen s dvoma členmi je mnohočlen, ktorý má dva členy; súčet dvoch jednočlenov (monómov). Napr. . Dvojčleny a vzorce s nimi spojené patria k základným matematickým nástrojom. Dvojčleny nachádzajú uplatnenie v rôznych výpočtoch počnúc kvadratickými rovnicami až po výpočet pravdepodobnosti. S dvojčlenmi súvisia vzorce pre skrátené násobenie, ktoré sa často používajú pri úpravách rôznych algebraických výrazov. V zhode s vyššie uvedenou definíciou sú dvojčleny výrazy a , pričom a môžu byť čísla, parametre alebo algebraické výrazy.

Nasledujúci príklad ukazuje, ako rozdielne môžu byť dvojčleny. , , ,

V príklade sú oba členy dvojčlenu súčiny, a to (prvý člen dvojčlenu) a (druhý člen dvojčlenu). V poslednom príklade je prvým členom výraz a druhým členom je výraz .

Stupeň dvojčlenu

Stupňom dvojčlenu rozumieme exponent u vonkajších zátvoriek. , , sú dvojčleny stupňa 2.

je dvojčlenom stupňa 3. je dvojčlenom stupňa 4.

Dvojčleny druhého stupňa

Vzorce skráteného násobenia uľahčujú počítanie s mnohočlenmi druhého stupňa i stupňov vyšších. Najznámejšie sú vzorce týkajúce sa dvojčlenov druhého stupňa, ktoré pracovne nazveme prvým, druhám a tretím vzorcom. Obecný vzorec pre výpočet dvojčlenu n-t=ho stupňa nachádza uplatnenie vo formulácii a riešení obecnejších matematických problémov. Tri zmienené vzorce: prvý vzorec druhý vzorec tretí vzorec

Prvé dva vzorce skráteného násobenia sä v zásade vzorcom jediným, stačí v druhom vzorci zapísať výraz v tvare a na tento tvar použíť prvý vzorec skráteného nasobenia. Dostávame:

Realizácia počtových výkonov obvyklym spôsobom vyjasní, ako uvedené vzorce vznikli:

zápis druhej mocniny ako súčinu vynásobenie hodnôt v zátvorkách (roznásobenie zátvoriek) sčítanie odpovedajúcich členov prvý vzorec

Analogicky pre druhý vzorec:

zápis druhej mocniny ako súčinu vynásobenie hodnôt v zátvorkách sčítanie odpovedajúcich členov druhý vzorec

Tretí vzorec odvodíme následovne: vynásobenie hodnôt v zátvorkách sčítanie odpovedajúcich členov tretí vzorec

Porovnanie prvého riadku výpočtu tretieho vzorca s druhými riadkami výpočtu prvého a druhého vzorca ukazuje všetky možné kombinácie znamienok v zátvorkách, ktoré sa môžu vyskytnúť.

Dvojčleny vyšších stupňov

Vyššie uvedené vzorce odvodíme podobne ako prví až tretí vzorec. O výraze na pravej strane uvedených rovností hovoríme ako o rozvoji dvojčlenu.

Činitele pred jednotlivými výrazmi ,,, , (jednočleny) nazývame binomické koeficienty (koeficienty dvojčlenu, napr. koeficient pred , koeficient pred a pod.

Ak zapíšeme rozvoj dvojčlena so všetkými exponentami členov a , dostávame

Všimnite si: 1. Najvyšší exponent základu i je rovný stupni dvojčlenu, v tomto prípade . 2. Exponent základu sa v každom nasledujúcom sčítanci znižuje o , od v prvom sčítanci až na v poslednom sčítanci. 3. Exponent základu sa v každom nasledujúcom sčítanci zvyšuje o , od v prvom sčítanci až na v sčítanci poslednom.

Vzorce pre dvojčleny dostaneme tak, že člen b nahradíme výrazom . Pre dvojčlen tretieho stupňa dostávame

Podobne v prípade dvojčlena štvrtého stupňa

Všimnime si, že členy obsahujúce nepárne mocniny základu (-b) majú záporné koeficienty, takže sa odčítajú.

Referencie

Pozri aj Binomická veta Jednočlen

Iné projekty

Kategória:Algebra