thumb|Obrázok s popísanými úsečkami vyskytujúcimi sa v Euklidových vetách.
Ako Euklidove vety sa označujú dve matematické vety týkajúce sa pravouhlého trojuholníka. Pomenované sú po svojom objaviteľovi, gréckom matematikovi Eukleidovi z Alexandrie.
Euklidova veta o výške Obsah štvorca zostrojeného nad výškou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z oboch úsekov na prepone.
Dôkaz pomocou Pytagorovej vety
c = ca + cb vc2 = a2 − ca2 vc2 = b2 − cb2
Rovnice sčítame:
2vc2 = a2 + b2 − ca2 − cb2
Upravíme prvé dva členy podľa Pytagorovej vety:
2vc2 = c2 − ca2 − cb2
Rozpíšeme dĺžku prepony:
c2 = (ca + cb)2
Dosadíme:
2vc2 = (ca + cb)2 − ca2 − cb2 2vc2 = ca2 + 2ca cb + cb2 − ca2 − cb2 2vc2 = 2cacb
Vydelíme dvomi:
vc2 = ca . cb
Euklidova veta o odvesne Obsah štvorca zostrojeného nad odvesnou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z prepony a úseku na prepone priľahlého k odvesne. Pre jednotlivé odvesny trojuholníka teda platí:
Dôkaz pomocou Pytagorovej vety
vc2 = a2 − ca2 vc2 = b2 − (c − ca)2 = b2 − c2 + 2cca −ca2
Vytvoríme jednu rovnicu:
a2 − ca2 = b2 − c2 + 2cca −ca2
Vyjadríme b2 − c2 pomocou a:
a2 + b2 = c2 b2 − c2 = −a2
Dosadíme:
a2 = −a2 + 2cca 2a2 = 2cca
Vydelíme dvomi:
a2 = c . ca
Dôkaz pomocou Euklidovej vety o výške
Predpokladáme, že platí Euklidova veta o výške (dôkaz vyššie), z Pytagorovej vety vyplýva:
a2 = vc2 + ca2 a2 = ca cb + ca2 a2 = (cb + ca) ca a2 = c . ca
Pozri aj Euklides
Kategória:Trigonometria Kategória:Matematické vety Kategória:Eponymické termíny v matematike