Usporiadané pole je v matematike pole, na ktorom je definované totálne usporiadanie s istými vlastnosťami. Tento koncept zaviedol Emil Artin v roku 1927.
Definícia Pole (F, +, *) s totálnym usporiadaním ≤ na F je nazývame usporiadaným poľom, ak toto usporiadanie spĺňa nasledovné vlastnosti (0 označuje neutrálny prvok aditívnej operácie poľa): Ak a ≤ b, potom a + c ≤ b + c Ak 0 ≤ a a 0 ≤ b, potom 0 ≤ a b
Prvky a poľa, pre ktoré platí 0 ≤ a, nazývame nezápornými.
Z tejto definície vyplýva, že pre každé a, b, c, d v F platí: Buď −a ≤ 0 ≤ a alebo a ≤ 0 ≤ −a, Ak a ≤ b a c ≤ d, potom a + c ≤ b + d (môžeme "sčítavať nerovnosti"), Ak a ≤ b a 0 ≤ c, potom ac ≤ bc (môžeme "násobiť nerovnosti kladnými prvkami").
Vlastnosti usporiadaných polí 1 je nezáporná. (Dôkaz: buď 1 je nezáporná alebo −1 je nezáporná. Ak −1 je nezáporná, tak (−1)(−1) je nezáporná, čo je spor.) Usporiadané pole má charakteristiku 0. Konečné polia tak nemôžu byť usporiadané. Druhé mocniny sú nezáporné. 0 ≤ a2 pre všetky a v F.
Každé podpole usporiadaného poľa je takisto usporiadané pole (s indukovaným usporiadaním). Najmenšie podpole je izomorfné s poľom racionálnych čísel. Ak každý prvok usporiadané poľa leží medzi dvomi inými jeho prvkami, hovoríme, že pole je archimedovské; napríklad pole reálnych čísel je archimedovské, ale každé hyperreálne pole je nearchimedovské.
Príklady usporiadaných polí Príkladmi usporiadaných polí sú polia: racionálnych čísel, reálnych algebrických čísel, vypočítateľných čísel, reálnych čísel, superreálnych čísel, hyperreálnych čísel, pole reálnych racionálnych funkcií , kde p(x) a q(x), sú polynómy s reálnymi koeficientami sa dá usporiadať do poľa, kde p(x) = x je väčší ako každý konštantný polynóm definiovaním: keď , pre . Takto usporiadané pole nie je archimedovské. Pole formálnych mocninových radov s reálnymi koeficientami reálne uzavreté polia.
Kategória:Algebra