Teória miery je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá z najvšeobecnejších hľadísk exaktným uchopením pojmu kvantity. Základným pojmom teórie je miera, ktorá zovšeobecňuje pojmy, ako dĺžka, plocha, či objem. Teória miery je úzko spätá s teóriou integrálu (preto sa často vyskytuje aj označenie Teória miery a integrálu) a tiež s teóriou pravdepodobnosti.
Miera Miera je základným pojmom teórie miery. Z neformálneho pohľadu je miera zovšeobecnením pojmov dĺžka, obsah, objem] alebo počet (množstvo).
Definícia Majme merateľný priestor . Množinovú funkciu nazveme miera, ak spĺňa tieto podmienky: Miera prázdnej množiny je nulová: . Miera je vždy nezáporná: σ-aditivita: Pre ľubovoľnú spočítateľnú postupnosť po dvoch disjunktných množinách platí
Trojicu potom nazývame priestor s mierou.
Vlastnosti miery
Pre postupnosť množín platí: Pre postupnosť podmnožín platí: Naopak pre postupnosť nadmnožín: pokiaľ potom platí:
Príklady mier Diracova miera : Nech X je neprázdna množina a a jej prvok. Diracova miera je definovaná na σ-algebre P(X) všetkých podmnožín množiny X predpisom:
Aritmetická miera Lebesgueova miera Hausdorffova miera Lebesgue-Stieltjesove miery
Iné projekty
Kategória:Matematika