Cauchyho veta o strednej hodnote alebo Cauchyho veta o prírastku funkcie je matematická veta v diferenciálnom počte pomenovaná podľa Augustina Louisa Cauchyho.
Znenie vetyKubáček, Z.: Matematická analýza pre informatikov.
Nech, sú funkcie, pre ktoré platí: sú spojité na <a,b>, v každom bode z intervalu (a,b) majú vlastnú alebo nevlastnú deriváciu. Potom existuje bod tak, že platí
Ak navyše platia podmienky: , , potom možno uvedenú rovnosť prepísať ako
DôkazNeubrunn, T., Vencko, J.: Matematická analýza I. Univerzita Komenského v Bratislave, 1992.
Definujme
Funkcia F(x) spĺňa predpoklady Lagrangeovej vety o strednej hodnote, a preto existuje tak, že
Keďže ale platí F(a) = F(b), musí platiť F'(c) = 0, čo dosadením do vzorca pre deriváciu F v bode c implikuje
z čoho už priamo plynie prvá časť dokazovaného tvrdenia.
Na to, aby bolo možné prepísať rovnosť do ekvivalentného tvaru, musí platiť , ako aj . Prvá z podmienok je zaručená v predpokladoch vety, ostáva ukázať, že z predpokladu vyplýva . Ale keby platilo , muselo by podľa dokázaného vzťahu platiť , čo ale nie je možné, keďže oba činiteľe sú z predpokladov vety nenulové.
Referencie
Pozri aj
Lagrangeova veta o strednej hodnote Rollova veta o strednej hodnote
Kategória:Diferenciálny počet Kategória:Eponymické termíny v matematike Kategória:Portál:Matematika/Zapojené články