300px|thumb|right|250px|Zgled matematične fizike: rešitve Schrödingerjeve enačbe za kvantne harmonične oscilatorje (levo) z njihovimi verjetnostnimi amplitudami (desno).
Matemátična fízika se nanaša na razvoj matematičnih znanstvenih metod za uporabo v fiziki in je teorija matematičnih modelov pri raziskovanju fizikalnih pojavov. Revija Journal of Mathematical Physics definira to področje kot »uporabo matematike pri reševanju konkretnih fizikalnih problemov in razvoj matematičnih metod, primernih za takšne uporabe in za formulacijo fizikalnih teorij.«Definicija matematične fizike iz Journal of Mathematical Physics. http://jmp.aip.org/jmp/staff.jsp Je veja uporabne matematike, vendar obravnava fizikalne probleme. Pri pretvarjanju fizikalnih problemov v (univerzalni) matematični jezik lahko pride do nepričakovanih težav, četudi so matematične metode in osnove dobro poznane.
Osnovni pregled
O matematični fiziki kot taki v navezi s pitagorejci je pisal že Aristotel v delu Metafizika. Pitagorejci so imeli matematična načela za načela vseh stvari. Fizika je znanost, ki raziskuje značilnosti snovi, prostora in časa in navaja zakone, ki opisujejo naravne pojave. Moderna fizika temelji na zamisli, da snov ni točno to, kar se zaznava. Ta zamisel, ki jo je započel Galilei, in so jo kasnejši filozifi, kot so npr. Descartes, Boyle in Locke prevzeli, leži v izhodišču redukcionističnega pristopa fizike – iskanje opisljivih značilnosti snovi v danem merilu z značilnostmi snovi na osnovnejšem nivoju. Ta pristop ima dva dela: iskanje osnovnih elementov, ki tvorijo snov. Tako je običajna snov sestavljena iz atomov, ki so tudi sami sestava jedra in elektronov. Jedro samo sestavljajo nukleoni, delci, ki jih sestavljajo kvarki in gluoni. raziskovanje kombinacij teh osnovnih elementov in njihovih interakcij za interpretacijo opazovanih pojavov. Barva teles (objektov) se lahko interpretira z nihanji molekulskih atomov, ki sestavljajo ta telesa. Na enak način bo zvok interpretiran kot spremembe gostote zraka, ki se prenašajo v uho.
Osnovni elementi po sedanjem stanju znanja o naravi vzajemno delujejo s štirimi različnimi osnovnimi interakcijami (silami): gravitacijsko, elektromagnetno, šibko jedrsko in močno jedrsko. Interakciji, ki se pojavljata v merilu večjem ali enakem od atomskega, sta elektromagnetna in gravitacijska.
Eno od osnovnih orodij matematične fizike so diferencialne enačbe, še posebej parcialne, in numerične metode reševanja.
Področja dejavnosti
Zgodovinski okvir
Obstaja več vej matematične fizike, ki v grobem odgovarjajo določenim zgodovinskim obdobjem. Več tisoč let je matematika rastla na način, ki je bil otipljiv in stvaren.
Pred Newtonom
Raba v smeri infinitezimalnega računa so bili primeri računanja prostornin teles po ekshavscijski metodi. S tem so se ukvarjali že starogrški matematiki, npr. Evdoks in Arhimed.
Aryabhata I. je leta 499 računal z infinitezimalami in zapisal astronomski problem v obliki diferencialne enačbe. Sledove matematične fizike se lahko najde tudi v delih Ptolemeja, Ibn al-Haitama in al-Birunija.
Klasična mehanika
Newton je naredil velik korak v fiziki z vključevanjem in razširjanjem infinitezimalnega (fluksijskega) računa in posebej diferencialnega računa tedanjega časa.
Strogo, abstraktno in napredno reformulacijo klasične Newtonove mehanike predstavljata Lagrangeeva in Hamiltonova mehanika tudi v prisotnosti zvezanosti. Obe formulaciji sta vključeni v analitično mehaniko. To je na primer vodilo do odkritja globokega medsebojnega vpliva predstave o simetriji in ohranjenih količin med dinamično evolucijo, ki je naveden znotraj najosnovnejše formulacije izreka Notherjeve. Ti pristopi in zamisli so lahko in so dejansko tudi bili razširjeni na druga področja fizike, kot so: statistična mehanika, mehanika kontinuov, klasična in kvantna teorija polja. Poleg tega so oskrbeli več primerov in osnovnih zamisli v diferencialni geometriji – na primer teorija vektorskih svežnjev in nekaj pojmov v simplektični geometriji.
Einsteinove fizikalne teorije prostora in časa so imele najbolj naravno tolmačenje v Poincaréjevi diferencialni geometriji 19. stoletja. V 20. stoletju sta se umeritvena teorija fizike osnovnih delcev in matematika vektorskih svežnjev razvijali skupaj. Wigner je imenoval matematiko 'pretirano učinkovito' zaradi svoje sposobnosti opisovanja fizike.
Parcialne diferencialne enačbe
Teorija parcialnih diferencialnih enačb (in sorodna področja variacijskega računa, Fourierove analize, teorije potenciala in vektorske analize) so verjetno najtesneje povezana z matematično fiziko. Področja so se v veliki meri razvila od druge polovice 18. stoletja naprej z deli d'Alemberta, Eulerja in Lagrangea do 1930-ih. Z razvojem teh področij so se pojavile fizikalne uporabe v hidrodinamiki, nebesni mehaniki, mehaniki kontinuov, teoriji elastičnosti, akustiki, termodinamiki, elektriki, magnetizmu (elektromagnetizmu) in aerodinamiki.
Kvantna mehanika
Teorija atomskih spektrov (in kasneje kvantna mehanika) sta se razvili skoraj sočasno z matematičnimi področji linearne algebre, spektralne teorije operatorjev, operatorskih algeber in širše funkcionalne analize. Nerelativistična kvantna mehanika vsebuje Schrödingerjeve operatorje in njihovo povezavo z atomsko in molekulsko fiziko. Teorija kvantnih informacij je še eno sorodno podpodročje.
Relativnost in kvantne relativistične teorije
Posebna in splošna teorija relativnosti zahtevata različno vrsto matematike. To je bila teorija grup, ki je imela pomembno vlogo tako pri kvantni teoriji polja kot pri diferencialni geometriji. Postopoma sta jo dopolnili topologija in funkcionalna analiza pri matematičnem opisu kozmoloških pojavov in pojavov v kvantni teoriji polja. Na tem področju sta sedaj pomembni homološka algebra in teorija kategorij.
Statistična mehanika
Statistična mehanika predstavlja samostojno področje, ki vključuje teorijo faznih prehodov. zanaša se na Hamiltonovo mehaniko ali njeno kvantno različico in je tesno povezana z bolj matematično ergodično teorijo in z nekaterimi deli verjetnostnega računa. Vedno večja je povezava med kombinatoriko in fiziko, še posebej pri statistični fiziki.
Povezave s teoretično fiziko
Matematična fizika se prepleta s teoretično fiziko, ki se ukvarja s teoretičnimi argumenti pri raziskovanju fizikalnih pojavov in razvijanjem modelov znane in neznane, vendar verjetne, fizike. Teoretična fizika je širša, ker se ukvarja tudi z interpretacijami in ne s strogimi in špekulativnimi argumenti iz analize preskusov, ki nujno ne tvorijo čisto konsistentnega matematičnega aparata, se pa zanj verjame, da se v prihodnosti lahko popravi in izboljša do konsistentnega. Teoretična fizika na primer vključuje tudi prilagajanje parametrov in modelov na zapletene ekperimentalne podatke. Takšna raziskovanja se v teoretični fiziki po navadi imenujejo fenomenologija.
Fizikalna matematika in fizmatika
V novejšem času v osnovni fiziki visokih energij teoretični modeli matematično postajajo vse bolj zapleteni in navdihujejo niz čisto matematičnih konstrukcij, katerih povratna vrednost je v praktični fiziki velikokrat nejasna, vendar so njihove izjemne matematične značilnosti in teoretične povezave z raznimi konstrukcijami v matematični fiziki očarljive in navdihujejo nadaljnja raziskovanja. To področjo, oziroma slog raziskovanja, se včasih sedaj imenuje tudi fizična (ali fizikalna) matematika, rajši kot konvencionalna matematična fizika. Ne obstaja pa vsesplošno sprejeta meja med izrazom matematična fizika in tem novim izrazom fizikalna matematika.
Zalsow za opis nove povezave med fiziko in matematiko, povezave, ki združuje najbolj teoretične in abstraktne aspekte teh disciplin, rabi izraz fizmatika (). Ta se razlikuje od matematične fizike, ki se zgodovinsko gledano ukvarja s konkretnimi uporabami matematike v fiziki. Matematična fizika pridaja matematiki podrejeno vlogo. V fizmatiki sta po besedi in področju obe enaki partnerki. Ponazorilni zgled za to partnerstvo je na primer dualnost v kvantni mehaniki in njena matematična interpretacija.
Povezave z drugimi matematičnimi področji
teorija števil, verjetnostni račun, statistika Selberg, Wigner, Dyson, Montgomery, Sarnak, Cohen, Rudnick, Katz, Gaudin, Deligne, Rubinstein, Conrey, Ghosh, Keating, Snaith.
Uporaba
thumb|right|200px|Ontologija je pogoj za fiziko, ne pa tudi za matematiko Raba izraza »matematična fizika« je včasih idiosinkratična. Določeni deli matematike, ki so v začetku nastali iz razvoja fizike, dejansko ne veljajo za dele matematične fizike, druga tesno povezana področja pa veljajo. Teorija navadnih diferencialnih enačb in simplektična geometrija sta na primer obravnavani kot čisto matematični disciplini, teorija dinamičnih sistemov in Hamiltonova mehanika pa pripadata matematični fiziki.
Matematična in teeoretična fizika
Izraz »matematična fizika« se včasih rabi za označevanje raziskovanja in reševanja problemov, ki jih pogojujejo fizika ali miselni preskusi znotraj okvirja matematične strogosti. V tem smislu matematična fizika pokriva zelo široko akademsko domeno, ki jo je moč razlikovati le z združevanjem čiste matematike in fizike. Čeprav je povezana s teoretično fiziko, matematična fizika v tem smislu poudarja matematično strogost iste vrste kot v matematiki.
Na drugi strani teoretična fizika poudarja povezave k opazovanjem in eksperimentalni fiziki, ki pogosto zahtevajo, da se teoretični fiziki (in matematični fiziki v širšem smislu) poslužujejo hevrističnih, intuitivnih in aproksimativnih argumentov. Matematiki takšnih argumentov nimajo za stroge. Možno je, da je stroga matematična fizika bližje matematiki, teoretična fizika pa fiziki. To se odslikava tudi inštitucionalno – matematični fiziki so velikokrat člani matematičnih oddelkov.
Takšni matematični fiziki primarno razširjajo in pojasnjujejo fizikalne teorije. Zaradi zahtevanega nivoja matematične strogosti se ti raziskovalci velikokrat ukvarjajo z vprašanji, ki jih imajo teoretični fiziki že za rešena. Včasih lahko vseeno pokažejo, vendar ne v splošnem ali na preprost način, da so bile predhodne rešitve nepopolne, nepravilne ali preprosto preveč naivne. Problemi o poskusih izvajanja drugega zakona termodinamike iz statistične mehanike so na primer takšni primeri. Drugi primeri se ukvarjajo z obravnavanjem sihnronizacijskih procesov v posebni in splošni teoriji relativnosti (Sagnacov pojav in Einsteinova sinhronizacija).
Trud postavljanja fizikalnih teorij na trdno oporo matematične strogosti je dal veliko novih dosežkov v matematiki. Razvoj kvantne mehanike in nekaterih vidikov funkcionalne analize je v mnogočem potekal vzporedno. Matematično raziskovanje kvantne mehanike, kvantne teorije polja in kvantne statistične mehanike je motiviralo dosežke v operatorskih algebrah. Poskus konstrukcije stroge kvantne teorije polja je prinesel tudi napredek na področjih, kot je teorija reprezentacij. Raba geometrije in topologije je pomembna v teoriji strun.
Vidni matematični fiziki
Pred Newtonom
Korenine matematične fizike se lahko zasledijo pri Arhimedu v Stari Grčiji, Ptolemeju v Egiptu, al-Haitamu v Iraku in Al-Biruniju v Perziji.
V prvem desetletju 16. stoletja je Nikolaj Kopernik (1473–1543) predlagal heliocentrični model Osončja in leta 1543 objavil razpravo o njem. Kopernik je želel poenostaviti astronomijo in prikazati tire planetov z bolj popolnimi krožnicami, ki so v aristotelovski fiziki notranje gibanje Aristotelovega petega elementa – kvintesence ali univerzalne esence, ki so jo stari Grki poznali kot eter – čisti zrak. Bila je čista snov za podlunsko sfero in tako je bila sestavljena iz čisto nebeških entitet. Johannes Kepler (1571–1630), pomočnik Tycha Braheja je spremenil kopernikanske tire v elipse vendar formalizirane v enačbah Keplerjevih zakonih gibanja planetov.