thumb|right|Heronski trikotnik z dolžinami stranic , in , ter dolžino višine , ki so vse cela števila.

Céloštevílski trikótnik je trikotnik s celoštevilskimi dolžinami stranic. Racionálni trikótnik se lahko definira kot trikotnik z racionalnimi dolžinami stranic. Vsak tak trikotnik se lahko reskalira na cele vrednosti dolžin stranic – vse njegove stranice se lahko pomnožijo z istim celim številom – s skupnim mnogokratnikom njihovih imenovalcev), da se dobi celoštevilski trikotnik. Zaradi tega v tem smislu ni pomembnejše razlike med celoštevilskimi in racionalnimi trikotniki.

Obstajajo tudi druge definicije izraza »racionalni trikotnik« – leta 1914 je Carmichael uporabil izraz v smislu, ki se sedaj rabi za heronski trikotnik. Somos ga rabi za trikotnike, katerih dolžine stranic so racionalne. Conway in Guy sta definirala racionalni trikotnik kot trikotnik z racionalnimi dolžinami stranic in racionalnimi koti, merjenimi v stopinjah. V tem primeru je edini racionalni trikotnik enakostranični trikotnik z racionalnimi dolžinami stranic.

Obstaja mnogo splošnih značilnosti za celoštevilski trikotnik. Obstajajo razredi celoštevilskih trikotnikov s posebnimi značilnostmi.

Splošne značilnosti

Z danim obsegom

Vsaka trojica pozitivnih celih števil lahko vedno služi kot dolžine stranic celoštevilskega trikotnika, dokler zanjo velika trikotniška neenakost: najkrajša dolžina stranice je krajša od vsote drugih dveh dolžin stranic:

Vsaka takšna trojica določa celoštevilski trikotnik, ki je do kongruence edini. Tako je število celoštevilskih trikotnikov (do kongruence) z obsegom enako številu particij števila v tri pozitivne dele, za katere velja trikotniška neenakost. To je celo število najbližje , kadar je sod, in , kadar je lih. To pomeni tudi, da je število celoštevilskih trikotnikov s sodimi obsegi enako številu celoštevilskih trikotnikov z lihimi obsegi . Zato ne obstajajo celoštevilski trikotniki z obsegi 1, 2 ali 4, obstaja en z obsegi 3, 5, 6 ali 8, dva z obsegomoma 7 ali 10, trije z obsegomoma 9 ali 12, štirje z obsegoma 11 ali 14, pet z obsegoma 13 ali 16, sedem z obsegoma 15 ali 18, osem z obsegoma 17 ali 20, deset z obsegoma 19 ali 22, itd. Prvi členi zaporedja števila celoštevilskih trikotnikov z obsegom pri so:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, ...

To zaporedje se imenuje Alkuinovo zaporedje in je enako členom koeficientov razvoja potenčne vrste:

Štirje celoštevilski trikotniki z obsegom 11 imajo na primer dolžine stranic {1, 5, 5}, {2, 4, 5}, {3, 3, 5} ali {3, 4, 4}.

Z dano največjo dolžino stranice

Število celoštevilskih trikotnikov (do kongruence) z dano največjo dolžino stranice in celoštevilsko trojico je takšno število celoštevilskih trojic, da velja in . To je celo število oblike:

Alternativno ima za sodi obliko dvojnega trikotniškega števila in za lihi obliko kvadrata . To pomeni tudi, da število celoštevilskih trikotnikov z največjo dolžino stranice presega število celoštevilskih trikotnikov z največjo dolžino stranice za . Prvi členi zaporedja števila nekongruentnih celoštevilskih trikotnikov z največjo dolžino stranice za so:

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90, ... :

Število celoštevilskih trikotnikov (do kongruence) z dano največjo dolžino stranice in celoštevilsko trojico , ki ležijo na ali znotraj polkrožnice s premerom , je enako številu celoštevilskih trojic, da velja , in . To je tudi število celoštevilskih topokotnih ali pravokotnih (neostrokotnih) trikotnikov z največjo dolžino stranice . Prvi členi tega zaporedja za so:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48, ...

Posledično da razlika med zgornjima zaporedjema število celoštevilskih ostrokotnih trikotnikov (do kongruence) z dano največjo dolžino stranice . Prvi členi tega zaporedja za so:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52, ...

Ploščina

Po Heronovi formuli, če je ploščina trikotnika z dolžinami stranic , in , je:

Ker so vsi členi pod radikalom na desni strani formule cela števila, sledi, da morajo vsi celoštevilski trikotniki imeti celoštevilske vrednosti , pa bo racionalen.

Koti

Po kosinusnem izreku ima vsak kot v celoštevilskem trikotniku racionalni kosinus.

Če koti poljubnega trikotnika tvorijo aritmetično zaporedje, potem mora biti eden od njih enak 60°. V celoštevilskem trikotniku morajo preostali koti imeti racionalne kosinuse, metoda za tvorjenje takšnih trikotnikov je podana spodaj. Vendar razen trivialnega primera enakostraničnega trikotnika ne obstajajo celoštevilski trikotniki, katerih koti tvorijo geometrijsko ali harmonično zaporedje. To je zaradi tega, ker morajo takšni koti biti racionalni oblike z racionalnim razmerjem Vsi koti celoštevilskega trikotnika pa morajo imeti racionalne kosinuse, to pa se zgodi le kadar je razmerje enako , to je kadar je trikotnik enakostranični.

Kvadrat vsake notranje simetrale kota celoštevilskega trikotnika je racionalen, ker je splošna trikotniška formula za notranjo simetralo kota enaka , kjer je polobseg (in podobno za drugi dve simetrali kotov).

Stranica, razdeljena z višino

Vsaka višina iz oglišča na nasprotno stranico ali njena podaljšana nosilka bo razdelila to stranico ali njeno nosilko v racionalni daljici.

Težiščnice

Kvadrat dvakratnika vsake težiščnice celoštevilskega trikotnika je celo število, ker je splošna formula za kvadrirano težiščnico na stranico enaka , kar da (in podobno za težiščnici drugih dveh stranic).

Polmer očrtane in včrtane krožnice

Ker je kvadrat ploščine celoštevilskega trikotnika racionalen, sta racionalna tudi kvadrata njegovega polmera očrtane in polmera včrtane krožnice.

Razmerje med polmerom včrtane in polmerom očrtane krožnice celoštevilskega trikotnika je racionalno in je enako:

za polobseg in ploščino .

Produkt polmera včrtane in polmera očrtane krožnice celoštevilskega trikotnika je racionalen in je enak:

Zato je kvadrat razdalje med središčem včrtane in središčem očrtane krožnice celoštevilskega trikotnika, ki je po Eulerjevemu izreku enak , racionalen.

Heronski trikotniki

Vse heronske trikotnike se lahko postavi na mrežo z vsakim ogliščem na mrežno točko.

Splošna formula

Heronski trikotnik je trikotnik s celoštevilskimi dolžinami stranic in celoštevilsko ploščino. Vsak heronski trikotnik ima dolžine stranic sorazmerne z:

za cela števila , in , za katera veljajo zveze:

– največji skupni delitelj števil , in

Sorazmernostni faktor je v splošnem racionalen , kjer pretvori tvorjeni heronski trikotnik v njegovo primitivno obliko, pa skalira to primitivno obliko na zahtevano velikost.

Pitagorejski trikotniki

Pitagorejski trikotnik je pravokoten in heronski. Njegove tri celoštevilske dolžine stranic so znane kot pitagorejska trojica. Vse pitagorejske trojice z dolžino hipotenuze , ki so primitivne (dolžine stranic nimajo skupnega faktorja) se lahko tvorijo z naslednjimi zvezami:

kjer sta in tuji celi števili, en člen pa je sod pri .

Vsako sodo število večje od 2 je lahko kateta pitagorjeskega trikotnika (ne nujno primitivnega), ker, če je dolžina ene katete podana kot in se za dolžino druge katete izbere , je dolžina hipotenuze enaka .: List of ordered areas of Pythagorean triangles, pridobljeno dne 3. marca 2017. To je ravno zgornja rodovna formula, kjer je , območje za pa je lahko od 2 do neskončnosti.

Pitagorejski trikotniki s celoštevilsko dolžino višine na hipotenuzo

Ne obstajajo primitivni pitagorejski trikotniki s celoštevilsko dolžino višine na hipotenuzo. To je zaradi tega, ker je dvakratnik ploščine enak produktu dolžine katerekoli katete in dolžine odgovarjajoče višine – dvakratnik ploščine je tako enak ali , kjer je višina na hipotenuzo . Tri dolžine stranic primitivnega trikotnika so si med seboj tuje, tako da je v popolnoma reducirani obliki – ker za poljubni primitivni pitagorejski trikotnik ne more biti , ne more biti celo število.

Z vsakim pitagorejskim trikotnikom s katetama , in hipotenuzo pa se lahko tvori pitagorejski trikotnik s celoštevilsko dolžino višine s skaliranjem stranic z dolžino hipotenuze . Če je višina, je dobljeni pitagorejski trikotnik s celoštevilsko dolžino višine dan z:

Posledično so vsi pitagorejski trikotniki s katetama , , hipotenuzo in celoštevilsko dolžino višine na hipotenuzo z , kjer nujno velja in , tvorjeni z naslednjimi zvezami:

za tuji celi števili in pri .

Heronski trikotniki z dolžinami stranic iz aritmetičnega zaporedja

V trikotniku s celoštevilskimi dolžinami stranic in celoštevilsko ploščino so dolžine stranic v aritmetičnem zaporedju, če in samo če so dolžine stranic enake , kjer je:

pa je največji skupni delitelj , in .

Heronski trikotniki s kotom, enakim dvakratniku drugega

Za vse heronske trikotnike z veljajo naslednje zveze:

s takšnimi celimi števili , in , da velja , ali naslednje:

s celimi števili , in pri in .

Noben od heronskih trikotnikov z ni enakokraki ali pravokotni trikotnik, ker vse nastale kombinacije kotov dajo kote z neracionalnimi sinusi, kar da neracionalno ploščino ali dolžino stranice.

Enakokraki heronski trikotniki

Vsi enakokraki heronski trikotniki so razstavljivi. Tvorijo se z združevanjem dveh skladnih pitagorejskih trikotnikov vzdolž njune skupne katete, tako da so enake stranice enakokrakega trikotnika hipotenuze pitagorejskega trikotnika, kateta enakostraničnega trikotnika pa je dvakratnik druge katete pitagorejskega trikotnika. Zato je vsak pitagorejski trikotnik gradnik dveh enakokrakih heronskih trikotnikov, saj se ju lahko združi po katerikoli kateti. Vsi pari enakokrakih heronskih trikotnikov so dani z racionalnimi mnogokratniki naslednjih zvez:

in:

za tuji celi števili in pri in lihem .

Heronski trikotniki z obsegom, enakim štirikratniku praštevila

Pokazalo se je, da je heronski trikotnik, katerega obseg je štirikratnik praštevila, izključno povezan s praštevilom in, da ima praštevilo obliko .

Dobro je znano, da se lahko takšno praštevilo razdeli izključno na takšni celi števili in , da velja (glej Eulerjeva primerna števila). Pokazalo se je tudi, da so takšni heronski trikotniki primitivni, ker mora najmanjša dolžina stranice trikotnika biti enaka praštevilo, ki je ena četrtina njegovega obsega.

Zaradi tega za vse primitivne heronske trikotnike, katerih obseg je štirikratnik praštevila, veljajo naslednje zveze:

za celi števili in pri praštevilskem .

Faktorizacija ploščine je naprej enaka , kjer je praštevilo. Ploščina heronskega trikotnika pa je vedno deljiva s . To da rezultat, da poleg tega, kadar je in , kar da , morajo vse druge delitve in imeti lihi , od katerih je le en deljiv s .

Heronski trikotniki s celoštevilskimi polmeri včrtanih in očrtanih krožnic

Obstaja neskončno mnogo razstavljivih in neskončno mnogo nerazstavljivih primitivnih heronskih (nepitagorejskih) trikotnikov s celim polmerom vrčtane in vsake očrtane krožnice. Družina razstavljivh je dana z:

družina nerazstavljivih pa je dana z:

Heronski trikotniki kot stranske ploskve tetraedra

Obstajajo tetraedri s celoštevilsko prostornino in heronskimi trikotniki za stranske ploskve. En zgled ima na primer dolžino enega robu enako 896, dolžino nasprotnega robu enako 190 in dolžine preostalih štirih robov enake 1073 – dve ploskvi imata ploščini enaki 436800, druga 47120, prostornina pa je enaka 62092800.

Heronski trikotniki na dvorazsežni mreži

Dvorazsežna mreža je pravilna razporeditev med seboj ločenih točk, kjer, če se izbere ena točka za kartezično koordinatno izhodišče (0, 0), imajo potem vse točke koordinati . pri čemer sta in elementa množic vseh pozitivnih in negativnih celih števil. Trikotnik na mreži je vsak trikotnik postavljen na dvorazsežno mrežo na tak način, da vsa oglišča ležijo na mrežnih točkah. Po Pickovem izreku ima trikotnik na mreži racionalno ploščino, ki je ali celo število ali pa ima imenovalec enak 2. Če ima trikotnik na mreži dolžine stranic cele, je heronski s celoštevilsko ploščino.