Diracova enáčba [dirákova ~] je v fiziki osnovnih delcev relativistična valovna enačba, ki jo je izpeljal Paul Dirac leta 1928. V svoji prosti obliki ali vključno z elektromagnetnimi interakcijami opisuje vse masivne delce s polovičnim spinom, imenovane »Diracovi delci«, kot so elektroni in kvarki, za katere je parnost simetrija. Skladna je tako z načeli kvantne mehanike kot posebne teorije relativnosti. Bila je prva teorija, ki je v celoti upoštevala posebno teorijo relativnosti v kontekstu kvantne mehanike. Potrjena je bila z upoštevanjem fine strukture spektra vodikovega atoma na povsem strog način.
Enačba je nakazovala tudi obstoj nove oblike snovi, antimaterije, o kateri prej niso slutili ali jo opazili, in so jo nekaj let pozneje eksperimentalno potrdili. Zagotovila je tudi teoretično utemeljitev za uvedbo več komponentnih valovnih funkcij v Paulijevo fenomenološko teorijo spina. Valovne funkcije v Diracovi teoriji so vektorji štirih kompleksnih števil (znanih kot bispinorji), od katerih sta dva podobna Paulijevi valovni funkciji v nerelativistični meji, v nasprotju s Schrödingerjevo enačbo, ki je opisovala valovne funkcije samo ene kompleksne vrednosti. Poleg tega se Diracova enačba v meji ničelne mase zreducira na Weylovo enačbo.
Čeprav Dirac sprva ni v celoti razumel pomena svojih rezultatov, predstavlja pojasnitev spina kot posledice združitve kvantne mehanike in relativnosti – in končno odkritje pozitrona – eno od velikih zmagoslavij teoretične fizike. Ta dosežek so opisali kot popolnoma enak delu Newtona, Maxwella in Einsteina pred njim. Nekateri fiziki so jo označili za »pravo seme sodobne fizike«. V kontekstu kvantne teorije polja se Diracova enačba na novo interpretira za opis kvantnih polj, ki ustrezajo delcem s polovičnim spinom.
Diracova enačba je zapisana na plošči na tleh Westminstrske opatije. Plošča, ki so jo odkrili 13. novembra 1995, spominja na življenje Paula Diraca.
Matematična formulacija
V svoji sodobni formulaciji za teorijo polja je Diracova enačba zapisana v smislu polja Diracovi spinorjev ob vrednosti v kompleksnem vektorskem prostoru, ki je konkretno opisan kot , definiran na ravnem prostor-času (prostor Minkovskega) . Njegov izraz vsebuje tudi matrike gama in parameter , interpretiran kot masa, kot tudi druge fizikalne konstante. Dirac je najprej dobil svojo enačbo s faktorizacijo Einsteinove ekvivalenčne relacije energija-gibalna količina-masa ob predpostavki skalarnega produkta vektorjev gibalne količine, določenih z metričnim tenzorjem, in kvantiziral nastalo relacijo tako, da je gibalne količine povezal z njihovimi operatorji.
V smislu polja ima Diracova enačba obliko:
in v naravnih enotah s Feynmanovim zapisom s poševnicami:
Matrike gama (Diracove matrike) so množica štirih kompleksnih matrik (elementi ) za katere veljajo antikomutacijske relacije po definiciji:
kjer je metrični element Minkowskega, indeksi pa tečejo po 0, 1, 2 in 3. je identična matrika , ki deluje na Diracovo polje . Te matrike je mogoče eksplicitno realizirati z izbiro reprezentacije. Dve pogosti izbiri sta: Diracova reprezentacija:
kjer so Paulijeve matrike, in:
kiralna reprezentacija:
Zapis s poševnicami je zgoščeni zapis za:
kjer je vektor četverec (velikokrat je vektor četverec diferencialni operator ). Uporabljena je vsota prek indeksa .
Diracov adjunkt in adjungirana enačba
Diracov adjunkt spinorskega polja je definiran kot:
Z uporabo značilnosti matrik gama, (ki neposredno izhajajo iz značilnosti hermitskosti ), da velja:
se lahko izpelje adjungirana Diracova enačba s hermitskim konjugiranjem Diracove enačbe in množenjem desne strani z :
kjer parcialni odvod deluje z desne na : zapisano na običajni način delovanja odvoda z leve, velja:
Klein-Gordonova enačba
Če se na Diracovo enačbo uporabi , izhaja:
To je, za vsako komponento polja Diracovih spinorjev velja Klein-Gordonova enačba.
Ohranjeni tok
Ohranjeni tok teorije je:
Drug pristop za izpeljavo tega izraza je z variacijskimi metodami, z uporabo izreka Noetherjeve za globalno simetrijo za izpeljavo ohranjenega toka .
Rešitve
Ker Diracov operator deluje na 4-terke kvadratno integrabilnih funkcij, bi morale biti njegove rešitve elementi istega Hilbertovega prostora. Dejstvo, da energije rešitev nimajo spodnje meje, je nepričakovano.
Rešitve z ravninskim valovanjem
Rešitve z ravninskim valovanjem so tiste, ki izhajajo iz privzetka:
ki modelira delec z definitno 4-gibalno količino , kjer je .
Za ta privzetek Diracova enačba postane enačba za :
Po izbiri reprezentacije za matrike gama je reševanje tega stvar reševanja sistema linearnih enačb. Značilnost matrik gama brez reprezentacije je, da je prostor rešitev dvorazsežen (glej tukaj).
V kiralni reprezentaciji za je na primer prostor rešitev parametriran s -vektorjem , z:
kjer je in kvadratni koren hermitske matrike.
Te rešitve z ravninskim valovanjem zagotavljajo začetno točko za kanonično kvantizacijo.
Lagrangeeva formulacija
Tako Diracovo enačbo kot adjungirano Diracovo enačbo se lahko dobi iz (variacije) akcije s specifično Lagrangeevo gostoto, ki je podana z:
Če se to variira glede na , se dobi adjungirano Diracovo enačbo, če pa glede na , pa se dobi Diracovo enačbo.
V naravnih enotah in z zapisom s poševnicami je akcija enaka:
Za to akcijo, ohranjeni tok zgoraj nastane kot ohranjeni tok, ki ustreza globalni sismetriji prek izreka Noetherjeve za teorijo polja. Umerjanje te teorije polja s spreminjanjem simetrije v krajevno, odvisno od prostorsko-časovne točke, daje umeritveno simetrijo (pravzaprav umeritveno redundantnost). Iz tega izhaja teorija kvantne elektrodinamike ali QED. Glej spodaj za podrobnejšo razpravo.
Lorentzeva invariantnost
Diracova enačba je invariantna glede na Lorentzeve transformacije, to je pod delovanjem Lorentzeve grupe ali strogo , komponente, povezane z identiteto.
Za Diracov spinor, na katerega se konkretno gleda, da sprejema vrednosti , je transformacija pod Lorentzevo transformacijo podana s -kompleksno matriko . Pri definiciji ustrezne matrike je nekaj subtilnosti, pa tudi standardna zloraba zapisa.
Večina obravnavanj poteka na ravni Liejeve algebre. Za podrobnejšo obravnavo glej tukaj. Lorentzeva grupa realnih matrik , ki delujejo na , generira množico šestih matrik s komponentami:
Ko sta oba indeksa zvišana ali znižana, so to preprosto 'standardna baza' antisimetričnih matrik.
Ti zadoščajo komutacijskim relacijam Lorentzeve algebre:
V članku o Diracovi algebri je zapisano tudi, da spinski generatorji:
zadoščajo komutacijskim relacijam Lorentzeve algebre.
Lorentzeva transformacija se lahko zapiše kot:
kjer so komponente antisimetrične v .
Ogovarjajoča transformacija na spinski prostor je:
To je zloraba zapisa, vendar standardna. Razlog je, da ni dobro definirana funkcija , ker obstajata dve različni množici komponent (do ekvivalence), ki dasta enako , vendar različno . V praksi se implicitno izbere ena množica komponent in je tako dobro definirana v komponentah .
Pod Lorentzevo transformacijo Diracova enačba:
postane:
.
Z Lorentzevo invariantnostjo je povezan ohranjeni tok Noetherjeve ali bolje rečeno tenzor ohranjenih tokov Noetherjeve . Podobno, ker je enačba invariantna glede na translacije, obstaja tenzor ohranjenih tokov Noetherjeve , ki se ga lahko identificira kot napetostno-energijski tenzor teorije. Lorentzev tok je mogoče zapisati s členi napetostno-energijskega tenzorja zraven tenzorja, ki predstavlja notranjo vrtilno količino.
Zgodovinski razvoj in nadaljnje matematične podrobnosti
Diracova enačba se je (zgodovinsko) uporabila tudi za definicijo kvantnomehanske teorije, kjer se namesto tega interpretira kot valovna funkcija.
Diracova enačba v obliki, ki jo je prvotno predlagal Dirac, je:
kjer je valovna funkcija za elektron z mirovno maso s prostorskočasovnimi koordinatami . so komponente gibalne količine, mišljeni kot operator gibalne količine v Schrödingerjevi enačbi. je hitrost svetlobe in pa reducirana Planckova konstanta. Ti osnovni fizikalni konstanti odražata posebno teorijo relativnosti in kvantno mehaniko.
Diracov namen pri oblikovanju te enačbe je bil pojasniti obnašanje relativistično gibajočega se elektrona in tako omogočiti, da se atom obravnava na način, ki bi bil skladen z relativnostjo. Njegovo precej skromno upanje je bilo, da bi tako uvedeni popravki lahko vplivali na problem atomskih spektrov.
Do tedaj so poskusi, da bi staro kvantno teorijo atoma naredili združljivo s teorijo relativnosti, ki so temeljili na diskretizaciji gibalne količine, shranjene v elektronovi mogoči nekrožni orbiti atomskega jedra, propadli – in nova kvantna mehanika Heisenberga, Paulija, Jordana, Schrödingerja in samega Diraca se ni dovolj razvila, da bi obravnavala ta problem. Čeprav so bili Diracovi prvotni nameni izpolnjeni, je imela njegova enačba veliko globlje posledice za strukturo snovi in je uvedla nove matematične razrede objektov, ki so sedaj bistveni elementi osnovne fizike.
Novi elementi v tej enačbi so štiri -matrike , , in ter štirikomponentna valovna funkcija . V so štiri komponente, ker je njen izračun na kateri koli dani točki konfiguracijskega prostora bispinor. Interpretira se kot superpozicija elektrona s polovičnim spinom navzgor, elektrona s spinom navzdol, pozitrona s spinom navzgor in pozitrona s spinom navzdol.
-matrike in so vse hermitske in involutarne:
in med seboj antikomutativne:
Te matrike in oblika valovne funkcije imajo globok matematični pomen. Algebrsko strukturo, ki jo predstavljajo matrike gama, je približno 50 let prej ustvaril William Kingdon Clifford. Po drugi strani pa so Cliffordove zamisli izhajale iz dela Hermanna Grassmanna iz sredine 19. stoletja v njegovi Teoriji linearne razširitve (Lineare Ausdehnungslehre). Slednjega je večina njegovih sodobnikov štela za skoraj nerazumljivega. Pojav nečesa tako na videz abstraktnega, tako pozno in na tako neposreden fizikalni način, je eno najimenitnejših poglavij v zgodovini fizike. Še več, potrditev izjemnega vpogleda, ki sta ga izkazala matematika Grassmann in Clifford.
Ena sama simbolna enačba se tako razplete v štiri sklopljene linearne parcialne diferencialne enačbe prvega reda za štiri količine, ki sestavljajo valovno funkcijo. Enačbo se lahko bolj eksplicitno zapiše v Planckovih enotah kot:
zaradi česar je bolj jasno, da gre za niz štirih parcialnih diferencialnih enačb s štirimi neznanimi funkcijami.
Na poti k relativistični Schrödingerjevi enačbi
Diracova enačba je na videz podobna Schrödingerjevi enačbi za masivni prosti delec:
Leva stran predstavlja kvadrat operatorja gibalne količine, deljen z dvakratno maso, ki je nerelativistična kinetična energija. Ker relativnost obravnava prostor in čas kot celoto, relativistična posplošitev te enačbe zahteva, da morajo prostorski in časovni odvodi vstopiti simetrično, kot je to v Maxwellovih enačbah, ki urejajo obnašanje svetlobe – enačbe morajo biti diferencialno istega reda v prostoru in času. V relativnosti sta gibalna količina in energije prostorski in časovni del prostorsko-časovnega vektorja, četverca gibalne količine, in sta povezana z relativistično invariantno relacijo:
ki pravi, da je dolžina tega vektorja četverca sorazmerna z mirovno maso . Če se nadomesti operatorske ekvivalente energije in gibalne količine iz Schrödingerjeve teorije, se dobi Klein-Gordonovo enačbo, ki opisuje širjenje valovanja, skonstruiranega iz relativistično invariantnih objektov: