Klein-Gordonova enačba (Klein-Fok-Gordonova enačba ali včasih Klein-Gordon-Fokova enačba) je relativistična valovna enačba povezana s Schrödingerjevo enačbo. Je drugega reda v prostoru in času in zanjo velja Lorentzeva kovariantnost. Je diferencialna različica Einsteinove relativistične ekvivalenčne relacije energija-gibalna količina-masa . Čeprav enačba daje pravilno razmerje med energijo in gibalno količino, jih za spine delcev ne da. Zato se za nabite delce s spinom 1/2, kot sta elektron in proton v vodikovem atomu, vezavne energije, izpeljane iz Klein-Gordonove enačbe, ne ujemajo z opazovanimi energijami. Pravilna enačba gibanja za takšne delce je Diracova enačba. Namesto tega Klein-Gordonova enačba pravilno opisuje delce brez spina kot skalarna diferencialna enačba, na primer pione.
Izjava
Klein-Gordonovo enačbo se lahko zapiše na več različnih načinov. Enačba sama se po navadi nanaša na obliko lege prostora, kjer se jo lahko zapiše v smislu ločenih komponent prostora in časa ali z njihovo združitvijo v vektor četverec . S Fourierovo transformacijo polja v prostor gibalne količine, se rešitev po navadi zapiše s pomočjo superpozicij ravnih valovanj, katerih energija in gibalna količina upoštevata disperzijsko relacijo iz posebne teorije raltivnosti. Tu je podana Klein-Gordonova enačba za oba skupna dogovora metrične signature . +Klein-Gordonova enačba v normalnih enotah z metrično signaturo prostor lege Fourierova transformacija prostor gibalne količine ločena prostor in čas oblika z vektorjem četvercem Tu je d'Alembertov operator, pa je Laplaceov operator. Pogosto se zdi, da hitrost svetlobe in Planckova konstanta mašita enačbe, zato se pogosto izrazijo v naravnih enotah, kjer je . +Klein-Gordonova enačba v naravnih enotah z metrično signaturo prostor lege Fourierova transformacija prostor gibalne količine ločena prostor in čas oblika z vektorjem četvercem Za razliko od Schrödingerjeve enačbe Klein-Gordonova enačba dovoljuje dve vrednosti za vsak : eno pozitivno in eno negativno. Samo z ločitvijo pozitivnih in negativnih frekvenčnih delov se dobi enačbo, ki opisuje relativistično valovno funkcijo. Za časovno neodvisni primer ima Klein-Gordonova enačba obliko:
ki je formalno enaka homogeni ekranizirani Poissonovi enačbi. Poleg tega se lahko Klein-Gordonovo enačbo izrazi kot:
kjer je operator gibalne količine določen kot: .
Pomembnost
Enačbo je treba najprej razumeti kot klasično zvezno enačbo skalarnega polja, ki jo je mogoče kvantizirati. Proces kvantizacije nato uvede kvantno polje, katerega kvanti so delci brez spina. Njen teoretični pomen je podoben kot pri Diracovi enačbi. Rešitve enačb vključujejo skalarno ali psevdoskalarno polje. Na področju fizike osnovnih delcev je mogoče vključiti elektromagnetne interakcije, ki tvorijo temo skalarne elektrodinamike, praktična uporabnost za delce, kot so pioni, je omejena. Obstaja druga različica enačbe za kompleksno skalarno polje, ki je teoretično pomembna enačba Higgsovega bozona. Na področju fizike kondenzirane snovi se lahko uporablja za mnoge približke kvazidelcev brez spina.
Enačbo se lahko postavi v obliko Schrödingerjeve enačbe. V tej obliki je izražena kot dve sklopljeni diferencialni enačbi, vsaka prvega reda v času. Rešitve imajo dve komponenti, ki odražata prostostno stopnjo električnega naboja v relativnosti. Dopušča ohranjeno količino, vendar ni pozitivno definitna. Valovne funkcije torej ni mogoče interpretirati kot verjetnostne amplitude. Ohranjena količina se namesto tega interpretira kot električni naboj, kvadratna norma valovne funkcije pa se interpretira kot gostota naboja. Enačba opisuje vse delce brez spina s pozitivnim, negativnim in ničelnim nabojem.
Vsaka rešitev proste Diracove enačbe je za vsako od njenih štirih komponent rešitev proste Klein-Gordonove enačbe. Kljub temu, da je bila zgodovinsko izumljena kot enodelčna enačba, Klein-Gordonova enačba ne more tvoriti osnove dosledne kvantne relativistične teorije enega delca, vsaka relativistična teorija implicira ustvarjanje in uničenje delcev nad določenim energijskim pragom.
Rešitev za prosti delec
Tukaj je Klein-Gordonova enačba v naravnih enotah z metrično signaturo rešena s Fourierovo transformacijo. Če se vstavi Fourierova transformacija:
in uporabi ortogonalnost kompleksnih eksponentov, sledi disperzijska relacija:
Ta omejuje gibalne količine na tiste, ki ležijo na lupini, kar daje pozitivne in negativne energijske rešitve:
Za novo množico konstant je rešitev:
Običajno je obravnavati pozitivne in negativne energetske rešitve tako, da se loči negativne energije in dela samo s pozitivnimi :
V zadnjem koraku se je preimenoval. Sedaj se lahko izvede integracija po in izbere pozitivni frekvenčni del samo iz funkcije delta:
To se običajno jemlje kot splošna rešitev proste Klein-Gordonove enačbe. Upoštevati je treba, da ker je začetna Fourierjeva transformacija vsebovala samo Lorentzeve invariantne količine, kot je , je zadnji izraz tudi Lorentzeva invariantna rešitev Klein-Gordonove enačbe. Če se ne potrebuje Lorentzeve invariantnosti, se lahko faktor absorbira v koeficiente in .
Zgodovina
Enačbo so poimenovali po fizikih Oskarju Kleinu in Walterju Gordonu, ki sta jo leta 1926 predlagala za opis relativističnih elektronov. Neodvisno jo je odkril tudi Vladimir Aleksandrovič Fok leta 1926 nekoliko po Kleinovemu delu – Kleinov članek je bil prejet 28. aprila 1926, Fokov članek 30. julija 1926 in Gordonov članek 29. septembra 1926. Drugi avtorji so istega leta podali podobne trditve: Johann Kudar, Théophile Ernest de Donder, Frans-Henri van den Dungen in Louis de Broglie. Čeprav se je izkazalo, da modeliranje elektronovega spina zahteva Diracovo enačbo, Klein-Gordonova enačba pravilno opisuje relativistične sestavljene delce brez spina, kot je pion. Evropska organizacija za jedrske raziskave (CERN) je 4. julija 2012 objavila odkritje Higgsovega bozona. Ker je Higgsov bozon delec z ničelnim spinom, je to prvi opaženi navidezno osnovni delec, ki ga opisuje Klein-Gordonova enačba. Potrebno je nadaljnje eksperimentiranje in analiza, da se ugotovi, ali je opazovani Higgsov bozon tisti iz standardnega modela ali bolj eksotične, morda sestavljene oblike.
Klein-Gordonovo enačbo je kot kvantno valovno enačbo prvi obravnaval Erwin Schrödinger pri iskanju enačbe, ki bi opisovala snovno valovanje. Enačbo se najde v njegovih beležkah iz konca leta 1925 in zdi se, da je pripravil rokopis, v katerem jo je uporabil za vodikov atom. Vendar, ker ni upoštevala elektronovega spina, je nepravilno napovedala fino strukturo vodikovega atoma, vključno s precenjevanjem celotne velikosti vzorca cepitve s faktorjem za -ti energijski nivo. Relativistični spekter Diracove enačbe pa je enostavno obnoviti, če se tirno kvantno število nadomesti s kvantnim številom skupne vrtilne količine . Januarja 1926 je Schrödinger namesto tega v objavo predložil svojo enačbo, nerelativistični približek, ki je napovedala Bohrove energijske nivoje vodika brez fine strukture.
Leta 1926, kmalu po predstavitvi Schrödingerjeve enačbe, je Fok napisal članek o njeni posplošitvi za primer magnetnih polj, kjer so bile sile odvisne od hitrosti, in neodvisno izpeljal to enačbo. Tako Klein kot Fok sta uporabila Kaluzovo in Kleinovo metodo. Fok je določil tudi umeritveno teorijo za valovno enačbo. Klein-Gordonova enačba za prosti delec ima preprosto rešitev ravnega valovanja. Gordonov članek se je ukvarjal s Comptonovim pojavom.
Izpeljava
Nerelativistična enačba za energijo prostega delca je:
S kvantizacijo te enačbe se dobi nerelativistično Schrödingerjevo enačbo za prosti delec:
kjer je: – operator gibalne količine, (kjer je operator nabla), – operator energije.
Schrödingerjeva enačba ni relativistično invariantna in s tem ni v skladu s posebno teorijo relativnosti.
Naravno je poskusiti uporabiti identiteto iz posebne teorije relativnosti, ki opisuje energijo:
Potem samo vstavljanje kvantnomehanskih operatorjev za gibalno količino in energijo da enačbo:
Kvadratni koren diferencialnega operatorja se lahko definira s pomočjo Fourierovih transformacij, vendar je Dirac zaradi asimetrije prostorskih in časovnih odvodov ugotovil, da zunanjih elektromagnetnih polj ni mogoče vključiti na relativistično invarianten način. Zato je poiskal drugo enačbo, ki jo je mogoče spremeniti, da bi opisala delovanje elektromagnetnih sil. Poleg tega je ta enačba, kakršna je, nekrajevna (glej tudi Introduction to nonlocal equations).
Klein in Gordon sta namesto tega začela s kvadratom zgornje identitete:
kar po kvantizaciji daje:
kar se poenostavi v:
S preureditvijo členov sledi:
Ker so bila iz te enačbe odstranjena vsa sklicevanja na imaginarna števila, jo je mogoče uporabiti za polja z realnimi vrednostmi in tista, ki imajo kompleksne vrednosti.
Če se prva dva člena zapišeta z inverzom metrike Minkowskega in zapiše z eksplicitnim Einsteinovim zapisom, sledi:
Tako se lahko Klein-Gordonova enačba zapiše v kovariantnem zapisu. To pogosto pomeni okrajšavo v obliki:
kjer je:
in d'Alembertov operator:
Sedaj se ta oblika interpretira kot relativistična enačba polja za delce s spinom 0. Poleg tega je vsaka komponenta katere koli rešitve proste Diracove enačbe (za delec s spinom 1/2) samodejno rešitev proste Klein-Gordonove enačbe. To se zaradi Bargmann-Wignerjevih enačb posploši na delce s poljubnim spinom. Poleg tega mora v kvantni teoriji polja vsaka komponenta vsakega kvantnega polja izpolnjevati prosto Klein-Gordonovo enačbo, zaradi česar je enačba generični izraz kvantnih polj.
Klein-Gordonova enačba v potencialu
Klein-Gordonova enačba se lahko posploši za opis polja v poljubnem potencialu kot:
Potem je Klein-Gordonova enačba primer za .
Druga pogosta izbira potenciala, ki se pojavi v interakcijskih teorijah, je potencial za realno skalarno polje :
Higgsov sektor
Čisti sektor Higgsovega bozona standardnega modela je modeliran s Klein-Gordonovim poljem s potencialom, označenim s v tem razdelku. Standardni model je umeritvena teorija in, ker se polje trivialno transformira pod Lorentzevo grupo, se transformira kot vektor z vrednostjo pod akcijo dela umeritvene grupe . Zato, ker je vektorsko polje , se še vedno obnaša kot skalarno polje, saj skalar opisuje njegovo transformacijo (formalno reprezentacijo) pod Lorentzevo grupo. To je obravnavano tudi spodaj v razdelku o skalarni kromodinamiki.
Higgsovo polje je modelirano s potencialom:
na katerega se lahko gleda kot na posplošitev potenciala , vendar ima pomembno razliko: ima krožnico minimumov. Ta ugotovitev je pomembna v teoriji spontanega zloma simetrije v standardnem modelu.
Ohranjeni tok U(1)
Klein-Gordonova enačba in akcija za kompleksno polje dovoljujeta simetrijo . To pomeni, da je pod transformacijo:
Klein-Gordonova enačba invarianta, kakor tudi akcija (glej spodaj). Po izreku Noetherjeve za polja, ki odgovarjajo tej simetriji, obstaja tok , definiran kot:
za katerega velja ohranitvena enačba . Oblika ohranjenega toka se lahko izpelje sistematično z uporabo izreka Noetherjeve na simetrijo . To tukaj ne bo narejeno, ampak se bo samo preverilo, da se ta tok ohranja.
Klein-Gordonova enačba za kompleksno polje z maso , zapisana v kovariantnem zapisu in s signaturo večinoma plus, je:
in njena kompleksna konjugiranka:
Enačba se pomnoži z leve s in s (in zaradi zgoščenosti izpusti eksplicitna odvisnost od ):
Če se od druge odšteje prva, izhaja:
ali v indeksnem zapisu:
Če se to uporabi pri odvodu toka sledi:
Ta simetrija je globalna simetrija, lahko pa se tudi umeri, da nastane krajevna ali umeritvena simetrija: glej spodaj skalarno QED. Ime umeritvene simetrije je nekoliko zavajujoče, v resnici je odvečna, medtem ko je globalna simetrija prava simetrija.
Lagrangeeva formulacija
Klein-Gordonova enačba se lahko izpelje tudi z variacijsko metodo, ki nastane kot Euler-Lagrangeeva enačba za akcijo:
V naravni enotah s signaturo večinoma minus, ima akcija preprosto obliko: