Práštevílski izrèk (tudi izrèk o gostôti práštevíl) je v matematiki izrek o asimptotični porazdelitvi praštevil. Praštevilski izrek podaja splošni opis kako so praštevila porazdeljena med pozitivnimi celimi števili. Formalizira intuitivno zamisel, da se z večanjem n praštevila pojavljajo vse redkeje.
Praštevilski izrek v grobem pravi, da če se naključno izbere poljubno število med 0 in nekim velikim številom n, je verjetnost, da bo to število praštevilo, enaka približno 1 / ln n, kjer ln n označuje naravni logaritem števila n. Zaradi tega bo verjetnost, da bo naključno celo število z največ 2n števkami (za dovolj velik n) praštevilo za polovico manjša od verjetnosti za naključno celo število z največ n števkami. Na primer za n = 1.000 je približno eno od sedmih števil praštevilo (ln 103 ≈ 6,9), za n = 10.000 približno eno od devetih števil (ln 104 ≈ 9,2), za n = 1.000.000.000 pa eno praštevilo med 21-mi izbranimi števili (ln 109 ≈ 20,7). Med pozitivnimi celimi števili z največ 1000 števkami, bo približno eno od 2300 števil praštevilo (ln 101000 ≈ 2302,6), med pozitivnimi celimi števili z največ 2000 števkami pa približno eno od 4600 števil (ln 102000 ≈ 4605,2). Povprečna vrzel med zaporednima prašteviloma med prvimi n celimi števili je približno ln n..
Razvidno je, da so praštevila porazdeljena naključno, vendar na žalost ne vemo kaj 'naključno' pomeni. — R.C. Vaughan (februar 1990).
Vsebina izreka thumb|right|250px|Graf, ki kaže razmerje med aritmetično funkcijo številom praštevil π(ξ) in dvema njenima približkoma, ξ / ln ξ in Li(ξ). Ko se ξ povečuje (pri tem je x-os logaritemska), se obe razmerji približujeta 1. Razmerje za ξ / ln ξ konvergira od zgoraj zelo počasi, razmerje za Li(ξ) pa konvergira hitreje od spodaj. thumb|right|250px|Graf z obema logaritemskima osema kaže absolutno napako ξ / ln ξ in Li(ξ), dveh približkov za število praštevil π(ξ). Za razliko od razmerij razliki z naraščajočim ξ naraščata brez meja.
π(ξ) je aritmetična funkcija števila praštevil, ki podaja število praštevil manjših ali enakih ξ za poljubno realno število ξ. π(10) = 4, saj so štiri praštevila (2, 3, 5 in 7) manjša ali enaka 10. Praštevilski izrek pravi, da je ξ / ln ξ dober približek za π(ξ) v smislu, da je limita kvocienta funkcij π(ξ) in ξ / ln ξ enaka 1, ko se ξ približuje neskončnosti:
S pomočjo asimptotskega zapisa se lahko izrek zapiše kot:
Ta zapis in izrek sam ne povesta nič o limiti razlik dveh funkcij, ko ξ narašča v neskončnost. Obnašanje te razlike je v resnici zapleteno in je povezano z Riemannovo domnevo. Izrek izjavlja, da je ξ / ln ξ približno enako π(ξ) v smislu, da se relativna napaka tega približka približuje 0, ko ξ naraste prek vseh meja.
Praštevilski izrek je enakovreden izjavi, da je n-to praštevilo pn približno enako n ln n, kjer se spet relativna napaka približuje 0, ko n narašča v neskončnost.
Eulerjeva obravnava
Leta 1737 je Euler vpeljal klasično Euler-Riemannovo funkcijo ζ, določeno za vsa realna števila s večja od 1:
kjer so k pozitivna cela števila. Za števila (ali bolje za realni del) je gornja vsota neskončna, tako da za taka števila ni določena. Za vsako število s > 1 ima gornja vsota določeno končno vrednost. Pokazal je, da je za vsak tak s vrednost funkcije enaka neskončnemu Eulerjevemu produktu:
Prednost produkta je v tem, da ne vsebuje ničel v polravnini. Njegov rezultat je presenetljiv, saj povezuje funkcijo z neskončno množico praštevil P, osnovnih gradnikov števil. Praštevila so prisotna v analizi, ki je odraz neskončne narave matematike. Infinitezimalni račun, Newtonovi polinomi, funkcija Γ in funkcija funkcija vse sodijo v analizo. Funkcijsko enakost funkcije je Euler odkril leta 1761. Funkcija:
ostaja nespremenjena, kadar se s zamenja z 1 - s. Pomena enakosti se ne da videti neposredno, ker so funkcije določene v samostojnih polravninah ločenih s kritičnim trakom. Trak vsebuje kompleksna števila katerih realni deli ležijo točno med 0 in 1. To pomeni, da imata tako dve funkciji naravni nadaljevanji preko mej traku in ti dve sta enaki. Za funkcijo velja funkcijska enačba:
za vse s iz - {0,1}. S to enačbo si je moč pomagati pri analitičnem nadaljevanju. Pri s = 1 ima funkcija enostavni pol z ostankom 1. Euler je lahko izračunal za vsako sodo celo število 2k z enačbo:
kjer so Bernoullijeva števila. Od tu se vidi, da je , , , , in tako naprej. Te vrednosti dajo znane neskončne vrste za π. Na primer:
Euler je podal vrednosti za do za sode n. Stieltjes je leta 1887 podal na 30 števk točno vrednosti za do . Števci za n=1,2,3,... tvorijo zaporedje {6, 90, 945, 9450, 93555, 638512875, ...}. Primeri za liha cela števila pa niso tako enostavni. Ramanudžan je z velikim uspehom raziskoval tudi takšne primere. Za n > 1 in velja na primer:
kjer je binomski koeficient. Našli so še druge enačbe za nekatere lihe n.
Sorodni izrek za harmonično vrsto obratnih vrednosti naravnih števil:
pove, da vrsta nima končne vsote, in podobno divergira kot . Euler je poznal ta izrek in je pokazal, da velja:
in
kjer je ≈ 0,57721 56649 Euler-Mascheronijeva konstanta. Euler se je spraševal za praštevilsko harmonično vrsto, ki se jo dobi, če se sešteje obratne vrednosti vseh praštevil:
Ali ima sedaj končno ali neskončno vsoto? Naravni način odgovora na vprašanje je delitev harmonične vrste na dva dela: tistega, ki vsebuje vsa praštevila in preostanek harmonične vrste:
Potem se poskuša pokazati, da ima drug del končno vsoto. To bi pomenilo, da prvi del povzroča, da ima harmonična vrsta neskončno vsoto. Prvi del je praštevilska harmonična vrsta in bi tako imela neskončno vsoto. To je dobra zamisel, vendar se naleti na nepričakovano težavo. Ker harmonična vrsta divergira, se je ne da na ta način deliti. Euler se je lotil težave drugače. Naj se vzame neko celo realno število s, malo večje od 1, in namesto, da se opazuje harmonično vrsto , se opazuje raje sorodno vrsto . Ker se je vzel s večji od 1, ima ta vrsta končno vsoto in se jo zato lahko deli na dva končna dela: tistega, ki vsebuje vsa praštevila in tistega, ki vsebuje vsa sestavljena števila:
Potem se poskuša pokazati, da, če se približuje s vedno bližje 1, bo prva vsota:
naraščala preko vsake meje in pri s = 1 bo praštevilska harmonična vrsta:
imela neskončno vsoto. Pri preučevanju je Euler zasledoval podobno enačbo vsote geometrične vrste:
Za vsako praštevilo p in vsak s > 1 se lahko zapiše kot:
Izraz na levi strani je seveda izrazit člen v Eulerjevem neskončnem produktu in zgornja enačba zagotavlja neskončno vsoto za vsak člen v neskončnem produktu. Euler je naprej pomnožil vse te neskončne vsote, da bi dobil drugačno obliko svojega neskončnega produkta. Z uporabo običajnih algebrskih pravil za množenje (končnega števila končnih) vsot na neskočno mnogo neskončnih vsot se lahko vidi, če se izpiše desno stran kot eno neskončno vsoto, bodo njeni izrazi oblike:
kjer so različna praštevila in pozitivna cela števila in vsaka njihova kombinacija nastopi natanko enkrat. Po osnovnem izreku algebre se lahko vsako pozitivno celo število izrazi v obliki . Zaradi tega je desna stran preureditev vsote:
oziroma . Eulerjeva enačba neskončnega produkta za označuje začetek analitične teorije števil.
Dirichletova posplošitev
Leta 1837 je Dirichlet posplošil Eulerjevo metodo za dokaz ali v vsakem aritmetičnem zaporedju , kjer a in k nimata skupnega faktorja (sta si tuja, oziroma relativno praštevili), obstaja neskončno število praštevil. Na Evklidov izrek se lahko gleda kot na poseben primer tega za aritmetično zaporedje 1,3,5,7, ... vseh lihih celih števil. Dirichlet je za to priložnost posplošil Euler-Riemannovo funkcijo tako, da so vsa praštevila ločena v posamične razrede glede na to, kakšen ostanek imajo pri deljenju s k. Njegova modificirana funkcija ζ ima obliko:
kjer je posebna oblika funkcije, ki jo je Dirichlet imenoval »karakter«, in ta deli praštevila na zahtevan način. Posebej velja za vsak . Druga pogoja sta še, da je odvisna le od ostanka pri deljenju n s k in , če imata n in k skupni faktor. Vsaka funkcija oblike , kjer je realno število s > 1 in karakter, je znana kot Dirichletova L-vrsta. Euler-Riemannova funkcija je poseben primer, ki nastane, če se vzame za vse n. Matematiki so posplošili spremenljivko s in števila v kompleksno področje in s posplošeno obliko dokazali veliko značilnosti praštevil in tako pokazali, da so L-vrste zelo močno orodje pri študiju praštevil. Ključni rezultat o L-funkcijah je ta, da se jih lahko skupaj z izrazi kot neskončni produkt preko praštevil (Eulerjev produkt):
kjer je realni del s pozitiven.
Med prvimi desetimi števili je kar polovica praštevil, med prvimi 1000 pa le približno 1/6. Zdi se, da ni kakšnega splošnega pravila, po katerem bi bila praštevila razporejena med naravnimi števili. Med 9 999 900 in 10 000 000 je na primer 9 praštevil. Med 10 000 000 in 10 000 100 pa le 2, in sicer 10 000 019 in 10 000 079. Obstajajo celo poljubno dolgi odseki zaporednih naravnih števil, med katerimi ni nobenega praštevila. Za poljuben n med številoma in ni nobenega praštevila. Matematiki menijo, da so praštevilski dvojčki razporejeni povsem slučajno. Celo tega se ne ve, ali je praštevilskih dvojčkov končno mnogo ali jih je neskončno..
Pregled zgodnje zgodovine izreka thumb|right|250px|Porazdelitev praštevil do 19# (9.699.690).
Praštevilski izrek govori o asimptotičnem obnašanju aritmetične funkcije , števila praštevil manjših ali enakih realnemu številu . Legendre je leta 1796 domneval in leta 1798 v knjigi Esai sur la Theorie des Nombres objavil ugotovitev za velike :.
kjer sta bili konstanti A in B nedoločeni. Z zapisom je zapisal: »Končno je možno, da ima stroga formula, ki da vrednost b, če je a zelo velik, obliko , kjer sta A in B konstantna koeficienta, log a pa označuje naravni logaritem. Točna določitev koeficientov bo naloga posameznika, ki bo vredna vaje za ostroumnost Analitika.«
V drugi izdaji knjige leta 1808 je podal določnejšo domnevo:
z A = 1 in B = 1,08366, ki se včasih imenuje Legendrova konstanta. Pomagal si je z Eratostenovim sitom in je do tega rezultata prišel povsem empirično na podlagi preučevanja Felklovih in Vegovih razpredelnic praštevil, manjših od 400.000. Zato število B ni kaj posebnega. Legendre ga je enostavno izbral tako, da je dobil kar najboljši približek. V tretji izdaji knjige, preimenovani v Théorie des nombres, je podal obliko:
Medtem ko je Legendre pripravljal svojo knjigo, je funkcijo preučeval tudi štirinajstletni Gauss. Leta 1792 ali 1793 je kot 15/16-leten zapisal (objavil pa šele leta 1863):
Če se »praštevila pod « nadomesti z enakovredno vrednostjo , znak l z in z besedilom za velike , se dobi njegovo mladostno oceno:
z deljenjem s pa obliko praštevilskega izreka. Očitno je mladi Gauss že razumel to značilnost praštevil, zakaj pa je ni razvil, se najverjetneje ne bomo nikoli izvedelo. Na Božič 1849 je v pismu Enckeju zapisal:
Kot deček sem preučeval problem koliko praštevil je do dane točke. Iz svojih preračunov sem ugotovil, da je gostota praštevil okrog x približno .
Pozneje je domneval, da velja praštevilski izrek:
kjer je Li neelementarna funkcija logaritemski integral ali integralski logaritem li brez Cauchyjeve glavne vrednosti (CGV). Logaritemski integral v kompleksnem je določen z:
Logaritemski integral v praštevilskem izreku je določen tako, da velja Li:
kjer je ei eksponentni integral. Logaritemski integral močno namiguje na predstavo o tem da je 'gostota' praštevil okrog t enaka 1 / lnt. Ta funkcija je povezana z logaritmom s Poincaréjevim, oziroma asimptotičnim razvojem:
Da se ogne singularni vrednosti v točki 1, se včasih vzame konstanto, označeno s c ali tako, da velja:
Tako se lahko pri zamenja CGV z . Ta način je prvi uporabil Ramanudžan in se sedaj ≈ 1.4513692348... imenuje Ramanudžan-Soldnerjeva konstanta ali Soldnerjeva konstanta, in predstavlja ničlo enačbe li. Ramanudžan je dobil vrednost ≈ 1,451363380... Ta konstanta se pojavlja v naslednji obliki praštevilskega izreka: