thumb|right|220px|Diagram, ki prikazuje Cayleyjev graf za prosto grupo na dveh generatorjih. Vsako oglišče predstavlja element proste grupe, vsak rob pa predstavlja množenje z ali .

Prósta grúpa nad dano množico v matematiki sestoji iz vseh besed, ki jih je mogoče sestaviti iz elementov , pri čemer se dve besedi štejeta za različni, razen če njuna enakost izhaja iz aksiomov grupe (npr. , vendar za ). Elementi se imenujejo generatorji grupe , število generatorjev pa je rang proste grupe. Poljubna grupa se imenuje prosta, če je izomorfna za neko podmnožico grupe , torej če obstaja podmnožica grupe , tako da se lahko vsak element zapiše na natanko en način kot produkt končnega števila elementov in njihovih inverzov (brez upoštevanja trivialnih variacij, kot je ).

Soroden, a drugačen pojem je prosta Abelova grupa – oba pojma sta posebna primera prostega objekta iz univerzalne algebre. Kot take so proste grupe definirane s svojo univerzalno lastnostjo.

Zgodovina

Proste grupe so se prvič pojavile pri preučevanju hiperbolične geometrije kot primeri Fuchsovih grup (diskretnih grup, ki delujejo s togimi premiki (izometrijami) na hiperbolični ravnini). V članku iz leta 1882 je Walther von Dyck (1856–1934) poudaril, da imajo te grupe najpreprostejše možne predstavitve. Algebrsko preučevanje prostih grup je leta 1924 začel Jakob Nielsen (1890–1959), ki jim je dal ime in določil mnoge njihove osnovne lastnosti. Max Dehn (1878–1952) je spoznal povezavo s topologijo in dobil prvi dokaz celotnega Nielsen-Schreierjevega izreka, da je vsaka podgrupa proste grupe sama po sebi prosta. Otto Schreier (1901–1929) je leta 1927 objavil algebrski dokaz tega rezultata, Kurt Reidemeister (1893–1971) pa je v svojo knjigo o kombinatorični topologiji iz leta 1932 vključil celovito obravnavo prostih grup. Kasneje v 1930-ih je Wilhelm Magnus (1907–1990) odkril povezavo med spodnjo centralno vrsto prostih grup in prostimi Liejevimi algebrami.

Zgledi

Grupa celih števil je prosta z rangom 1 – generirajoča množica je . Tudi cela števila so prosta Abelova grupa, čeprav so vse proste grupe z rangom neabelovske. Prosta grupa na dvoelementni množici se pojavi v dokazu paradoksa Banacha in Tarskega in je opisana tam.

Po drugi strani pa nobena netrivialna končna grupa ne more biti prosta, saj imajo elementi proste generirajoče množice proste grupe neskončen red.

V algebrski topologiji je fundamentalna grupa šopka krožnic (množica zank, ki imajo samo eno skupno točko) prosta grupa na množici elementov.

Konstrukcija

Prosta grupa s prosto generirajočo množico se lahko skonstruira kot sledi. je množica simbolov in naj za vsak v obstaja odgovarjajoči »inverzni« simbol v množici . Naj je in naj je beseda v poljubni zapisani produkt elementov . To pomeni, da je beseda v element monoida, ki ga generira . Prazna beseda je beseda brez simbolov. Na primer, če je , potem je in:

je beseda v .

Če element leži tik ob svojem inverzu, se lahko besedo poenostavi tako, da se izpusti par :

Beseda, ki se ne more več poenostaviti, se imenuje reducirana.

Prosta grupa je definirana kot grupa vseh reduciranih besed v , pri čemer je združevanje besed ((konkatenacija), ki mu sledi redukcija, če je potrebno) operacija grupe. Identiteta je prazna beseda.

Reducirana beseda se imenuje ciklično reducirana, če njena prva in zadnja črka nista inverzni druga drugi. Vsaka beseda je konjugirana s ciklično reducirano besedo, ciklično reducirani konjugat ciklično reducirane besede pa je ciklična permutacija črk v besedi. Na primer, ni ciklično reducirana, ampak je konjugirana z , ki je ciklično reducirana. Edini ciklično reducirani konjugati besede so , in .

Univerzalna lastnost

Prosta grupa je univerzalna grupa, ki jo generira množica . To se lahko formalizira z naslednjo univerzalno lastnostjo: za poljubno funkcijo iz na grupo obstaja edinstveni homomorfizem , ki povzroči komutacijo naslednjega diagrama (kjer neimenovana preslikava označuje vključenost (inkluzijo) iz v ):

center|100px

To pomeni, da so homomorfizmi v korespondenci ena-na-ena s funkcijami . Za neprosto grupo bi prisotnost relacij omejila možne slike generatorjev pod homomorfizmom.

Da se vidi, kako se to nanaša na konstruktivno definicijo, se predstavlja preslikavo iz v kot pošiljanje vsakega simbola v besedo, ki ga sestavlja ta simbol. Za konstrukcijo za dano se najprej upošteva, da pošlje prazno besedo v identiteto množice G in se mora ujemati s glede elementov množice . Za preostale besede (ki jih sestavlja več kot en simbol) je mogoče enolično razširiti, saj je homomorfizem, oziroma .

Zgornja lastnost označuje proste grupe do izomorfizma in se včasih uporablja kot alternativna definicija. Znana je kot univerzalna lastnost prostih grup, generirajoča množica pa se imenuje baza za . Baza za prosto grupo ni enolično določena.

Označevanje z univerzalno lastnostjo je standardna lastnost prostih objektov v univerzalni algebri. V jeziku teorije kategorij je konstrukcija proste grupe (podobno kot večina konstrukcij prostih objektov) funktor iz kategorije množic v kategorijo grup. Ta funktor je levo adjungiran k pozabljivem funktorju od grup do množic.

Dejstva in izreki

Nekatere lastnosti prostih grup sledijo neposredno iz definicije: vsaka grupa je homomorfna slika neke proste grupe . Naj bo množica generatorjev grupe . Naravna preslikava je epimorfizem, kar dokazuje trditev. Enakovredno je izomorfna kvocientni grupi neke proste grupe . Če se lahko izbere kot končno, potem se imenuje končno generirana grupa. Jedro je množica vseh relacij v predstavitvi grupe – če lahko generirajo konjugati končnega števila elementov grupe , potem je končno predstavljena. če ima več kot en element, potem ni Abelova grupa in je center pravzaprav trivialen (torej je sestavljen samo iz identitete). dve prosti grupi in sta izomorfni, če in samo če imata in T enako kardinalnost. Ta kardinalnost se imenuje rang proste grupe . Tako za vsako kardinalno število obstaja, do izomorfizma natančno ena prosta grupa z rangom . prosta grupa s končnim rangom ima eksponentno stopnjo rasti reda .

Nekaj drugih sorodnih rezultatov je:

Nielsen-Schreierjev izrek: Vsaka podgrupa proste grupe je sama po sebi prosta. Nadalje, če ima prosta grupa rang in podgrupa indeks v , potem je prosta z rangom . prosta grupa z rangom ima očitno podgrupe z vsemi rangi, manjšimi od . Manj očitno pa ima (neabelovska!) prosta grupa z rangom vsaj 2 podgrupe z vsemi števnimi rangi. komutatorska podgrupa proste grupe z rangom ima neskončen rang – na primer za jo prosto generirajo komutatorji za neničelna in . prosta grupa v dveh elementih je SQ-univerzalna – zgornje sledi, ker ima vsaka SQ-univerzalna grupa podgrupe z vsemi števnimi rangi. vsaka grupa, ki deluje na drevesu prosto in ohranja usmerjenost, je prosta grupa s števnim rangom (podana z 1 plus Eulerjeva karakteristika količnika grafa). Cayleyjev graf proste grupe s končnim rangom glede na prosto generirajočo množico je drevo, na katerem grupa deluje prosto in ohranja usmerjenost. Kot topološki prostor (enorazsežni simpleksni kompleks) je ta Cayleyjev graf skrčljiv. Za končno predstavljeno grupo naravni homomorfizem, definiran zgoraj, , definira krovno preslikavo Cayleyjevih grafov , pravzaprav univerzalno kritje. Zato je fundamentalna grupa Cayleyjevega grafa izomorfna jedru , normalni podgrupi relacij med generatorji . Skrajni primer je, ko je , trivialna grupa, obravnavana s toliko generatorji, kot je , ki so vsi trivialni – Cayleyjev graf je šopek krožnic, njegova fundamentalna grupa pa je grupa sama. vsaka podgrupa proste grupe, , ustreza krovnemu prostoru šopka krožnic, in sicer Schreierjevemu grafu kosetov . To se lahko uporabi za topološki dokaz zgornjega Nielsen-Schreierjevega izreka. grupoidni pristop k tem rezultatom, podan v delu Philipa Johna Higginsa spodaj, je povezan z uporabo krovnih prostorov zgoraj. Omogoča močnejše rezultate, na primer o Gruško-Neumannovem izreku in normalno obliko za fundamentalni grupoid grafa grup. Pri tem pristopu je precejšnja uporaba prostih grupoidov na usmerjenem grafu. Gruško-Neumannov izrek ima posledico, da če podmnožica proste grupe na elementih generira in ima elementov, potem prosto generira .

Prosta Abelova grupa

Prosta Abelova grupa na množici je definirana preko svoje univerzalne lastnosti na analogen način, z očitnimi spremembami: obravnava se par , kjer je Abelova grupa in . se imenuje prosta Abelova grupa na glede na , če za poljubno Abelovo grupo in poljubno funkcijo obstaja takšen edinstveni homomorfizem , da velja:

Prosto Abelovo grupo na se lahko eksplicitno identificira kot prosto grupo F(S) modulo podgrupe, ki jo generirajo njeni komutatorji , to je njeno abelizacijo. Z drugimi besedami, prosta Abelova grupa na je množica besed, ki so razločljive le do vrstnega reda črk. Rang proste grupe se lahko tako definira tudi kot rang njene abelizacije kot proste Abelove grupe.

Problemi Tarskega

Okoli leta 1945 se je Alfred Tarski vprašal, ali imajo proste grupe na dveh ali več generatorjih enako teorijo prvega reda in ali je ta teorija odločljiva. Zlil Sela je leta 2006 odgovoril na prvo vprašanje tako, da je pokazal, da imata poljubni dve neabelovski prosti grupi enako teorijo prvega reda, Olga Harlampovič in Aleksej Georgijevič Mjasnikov pa sta istega leta odgovorila na obe vprašanji in pokazala, da je ta teorija odločljiva.

Podobno nerešeno (od leta 2011) vprašanje v teoriji proste verjetnosti sprašuje, ali sta von Neumannovi grupni algebri poljubnih dveh neabelovskih končno generiranih prostih grup izomorfni.

Glej tudi

generator

– faktorizacija elementov

Sklici

Viri

angleški prevod

Zunanje povezave

Kategorija:Geometrična teorija grup Kategorija:Kombinatorična teorija grup Kategorija:Proste algebrske strukture Kategorija:Lastnosti grup Kategorija:1924 v znanosti