Bilinearna forma je v matematiki bilinearna preslikava na vektorskem prostoru (katerega elementi so vektorji) nad poljem (katerega elementi so skalarji). Z drugimi besedami, bilinearna forma je funkcija , ki je linearna v vsakem argumentu posebej:
Skalarni produkt na je zgled bilinearne forme, ki je tudi notranji produkt. Zgled bilinearne forme, ki ni notranji produkt, bi bil produkt vektorjev četvercev.
Definicija bilinearne forme se lahko razširi, da vsebuje module nad kolobarji, kjer linearne preslikave nadomestijo homomorfizmi modulov.
Ko je polje kompleksnih števil , so pogosto v zanimanju seskvilinearne forme, ki so podobne bilinearnim formam, vendar so v enem argumentu konjugirane linearno.
Koordinatna reprezentacija
Naj je -razsežni vektorski prostor z bazo .
Matrika z velikostjo , definirana kot , se imenuje matrika bilinearne forme v bazi .
Če matrika z velikostjo predstavlja vektor glede na to bazo, in podobno, če matrika z velikostjo predstavlja drugi vektor , potem velja:
Bilinearna forma ima različne matrike v različnih bazah. Vendar pa so vse matrike bilinearne forme v različnih bazah kongruentne. Natančneje, če je druga baza , potem je:
kjer tvori obrnljivo matriko . Potem je matrika bilinearne forme v novi bazi .
Lastnosti
Nedegenerirane bilinearne forme
Vsaka bilinearna forma na definira par linearnih preslikav iz v njegov dualni prostor . Naj je par definiran kot:
To se velikokrat označi kot:
kjer pika označuje mesto, v katerega se vstavi argument za nastali linearni funkcional (glej kariranje).
Za končnorazsežni vektorski prostor , če je ali izomorfizem, potem sta oba, in bilinearna forma se imenuje nedegenerirana. Bolj konkretno, za končnorazsežni vektorski prostor nedegeneriranost pomeni, da se vsak neničelni element netrivialno pari z nekim drugim elementom:
za vse pomeni, da je in za vse pomeni, da je .
Ustrezen pojem za modul nad komutativnim kolobarjem je, da je bilinearna forma , če je izomorfizem. Glede na končno generiran modul nad komutativnim kolobarjem je parjenje lahko injektivno (torej »nedegenerirano« v zgornjem smislu), vendar ne unimodularno. Na primer, nad celimi števili je parjenje nedegenerirano, vendar ne unimodularno, saj je inducirana preslikava iz v množenje z 2.
Če je končnorazsežen, potem se lahko identificira z njegovim dvojnim dualom . Potem se lahko pokaže, da je transponiranje linearne preslikave (če je neskončnorazsežen, potem je transponiranje , omejeno na sliko v ). Glede na se lahko definira transponiranje kot bilinearno formo, podano z:
Levi in desni radikal forme sta jedri in – sta vektorja, pravokotna na celoten prostor na levi in desni.
Če je končnorazsežen, je rang enak rangu . Če je to število enako , sta in linearna izomorfizma od do . V tem primeru je nedegenerirana. Po izreku o rangu in ničnosti je to enakovredno pogoju, da sta levi in enakovredno desni radikal trivialna. Za končnorazsežne prostore se to pogosto vzame kot definicija nedegeneriranosti:
Za poljubno linearno preslikavo se lahko dobi bilinearno formo na prek izraza:
Ta forma bo nedegenerirana, če in samo če je izomorfizem.
Če je končnorazsežen, potem je bilinearna forma glede na neko bazo za degenerirana, če in samo če je determinanta pridružene matrike nič. Podobno je nedegenerirana forma tista, pri kateri je determinanta pridružene matrike neničelna (matrika je obrnljiva (nesingularna)). Te trditve so neodvisne od izbrane baze. Za modul nad komutativnim kolobarjem je unimodularna forma tista, pri kateri je determinanta pridružene matrike enota (na primer 1), od tod tudi izraz; upoštevati je treba, da bo forma, katere determinanta matrike je neničelna, vendar ni enota, nedegenerirana, vendar ne unimodularna, na primer nad celimi števili.
Simetrične, poševnosimetrične in alternirajoče forme
Bilinearno formo se definira kot:
simetrično, če je za vse , v , alternirajočo, če je za vse v , ali , če je za vse , v .
Trditev Vsaka alternirajoča forma je poševnosimetrična. Dokaz To se lahko vidi z razširitvijo .
Če karakteristika ni enaka 2, potem velja tudi obratno: vsaka poševnosimetrična forma je alternirajoča. Če pa je , potem je poševnosimetrična forma enaka simetrični formi in obstajajo simetrične/poševnosimetrične forme, ki niso alternirajoče.
Bilinearna forma je simetrična (oziroma poševnosimetrična), če in samo če je njena koordinatna matrika (relativno na poljubno bazo) simetrična (oziroma poševnosimetrična). Bilinearna forma je alternirajoča, če in samo če je njena koordinatna matrika poševnosimetrična in so vsi njeni diagonalni elementi nič (kar sledi iz poševne simetrije, ko je ).
Bilinearna forma je simetrična, če in samo če sta preslikavi enaki, in poševnosimetrična, če in samo če sta medsebojno negativni. Če je , potem se lahko bilinearno formo razstavi na simetričen in poševnosimetričen del na naslednji način:
kjer je transponiranje forme (definirano zgoraj).
Refleksivne bilinearne forme in ortogonalni vektorji
Bilinearna forma je refleksivna, če in samo če je simetrična ali alternirajoča. V odsotnosti refleksivnosti je treba razlikovati med levo in desno ortogonalnostjo. V refleksivnem prostoru se levi in desni radikal ujemata in se imenujeta jedro ali radikal bilinearne forme: podprostor vseh vektorjev, ortogonalnih z vsakim drugim vektorjem. Vektor z matrično reprezentacijo je v radikalu bilinearne forme z matrično reprezentaciojo , če in samo če je . Radikal je vedno podprostor . Je trivialen, če in samo če je matrika obrnljiva (nesingularna), in torej če in samo če je bilinearna forma nedegenerirana.
Naj je podprostor. Njegov ortogonalni komplement je definiran kot:
Za nedegenerirano formo na končnorazsežnem prostoru je preslikava bijektivna, razsežnost pa je enaka .
Omejene in eliptične bilinearne forme
Definicija: Bilinearna forma na normiranem vektorskem prostoru je omejena, če obstaja takšna konstanta , da za vse velja:
Definicija: Bilinearna forma na normiranem vektorskem prostoru je eliptična ali koercivna, če obstaja takšna konstanta , da za vse velja:
Pridružena kvadratna forma
Za poljubno bilinearno formo obstaja pridružena kvadratna forma , definirana z .
Ko je , kvadratno formo določa simetrični del bilinearne forme in je neodvisna od antisimetričnega dela. V tem primeru obstaja povratno enolična korespondenca med simetričnim delom bilinearne forme in kvadratno formo, zato je smiselno govoriti o simetrični bilinearni formi, pridruženi s kvadratno formo.
Ko je , se ta korespondenca med kvadratnimi in simetričnimi bilinearnimi formami prekine.
Razmerje do tenzorskih produktov
Zaradi univerzalne lastnosti tenzorskega produkta obstaja kanonična korespondenca med bilinearnimi formami na in linearnimi preslikavami . Če je bilinearna forma na , je ustrezna linearna preslikava podana z:
V drugi smeri, če je linearna preslikava, je ustrezna bilinearna forma podana s sestavljanjem z bilinearno preslikavo , ki pretvori v .
Množica vseh linearnih preslikav je dualni prostor , zato se bilinearne forme lahko predstavlja kot elemente , ki je (ko je končnorazsežen) kanonično izomorfen .
Podobno se lahko simetrične bilinearne forme razume kot elemente (kot dual druge simetrične potence ), alternirajoče bilinearne forme pa kot elemente (kot druge zunanje potence ). Če je , je .
Posplošitve
Pari različnih vektorskih prostorov
Velik del teorije je na voljo za bilinearno preslikavo iz dveh vektorskih prostorov nad istim baznim poljem v to polje:
Tukaj so še vedno inducirane linearne preslikave iz v in iz v . Lahko se zgodi, da so te preslikave izomorfizmi – če se predpostavi končne razsežnosti, če je ena izomorfizem, mora biti tudi druga. Ko se to zgodi, se imenuje popolno združevanje.
V končnih razsežnostih je to enakovredno temu, da je združevanje nedegenerirano (prostori imajo nujno enake razsežnosti). Za module (namesto vektorskih prostorov), tako kot je nedegenerirana forma šibkejša od unimodularne oblike, je nedegenerirano združevanje šibkejši pojem od popolnega združevanja. Združevanje je lahko nedegenerirano, ne da bi bilo popolno združevanje, na primer prek je nedegenerirano, vendar inducira množenje z 2 na preslikavi .
Terminologija se razlikuje glede obsega bilinearnih oblik. Frank Reese Harvey na primer razpravlja o »osmih vrstah notranjega produkta«. Za njihovo definicijo uporablja diagonalne matrike , ki imajo za neničelne elemente le +1 ali −1. Nekateri »notranji produkti« so simplektične forme, nekateri pa so seskvilinearne forme ali hermitske forme. Namesto splošnega polja so navedeni primeri z realnimi števili , kompleksnimi števili in kvaternioni . Bilinearna forma:
se imenuje realni simetrični primer in je označena kot , kjer je . Nato artikulira povezavo s tradicionalno terminologijo:
Splošni moduli
Glede na kolobar in desni -modul ter njegov dualni modul se preslikava imenuje bilinearna forma, če velja:
za vse , vse in vse .
Preslikava je znana kot naravno parjenje, imenovana tudi kanonična bilinearna forma na .
Linearna preslikava inducira bilinearno formo , linearna preslikava pa inducira bilinearno formo .
Nasprotno, bilinearna forma inducira -linearni preslikavi in . Tukaj označuje dvojni dual od .
Glej tudi
:kategorija:bilinearni operatorji prehilbertov prostor
kvadratna forma
Sklici
Viri
. Tudi:
angleški prevod:
Zunanje povezave
Kategorija:Abstraktna algebra
Kategorija:Linearna algebra Kategorija:Multilinearna algebra