V statistiki izrek Gaussa in Markova (tudi Gauss-Markov teorem ali preprosto Gaussov teorem za nekatere avtorje)See chapter 7 of pravi, da cenilka navadni najmanjši kvadrati (OLS) ima najmanjšo vzorčno varianco v razredu linearnih nepristranskih cenilk, če so napake v linearnem regresijskem modelu nekorelirane, imajo enake variance in pričakovano vrednost nič. Ni potrebno, da bi bile napake normalne, niti ni potrebno, da so neodvisne in identično razporejene (le nekorelirane z aritmetično sredino nič in homoskedastičnostjo s končno varianco). Zahteve, da mora biti cenilka nepristranska, ne moremo opustiti, saj obstajajo pristranske cenilke z nižjo varianco. Glej na primer James-Steinovo cenilko (ki opušča linearnost), slemensko regresijo ali preprosto katerokoli degenerirano cenilko.
Izrek je bil poimenovan po Carlu Friedrichu Gaussu in Andreju Markovu, čeprav je bilo delo Gaussa pred Markovim. Toda čeprav je Gauss izpeljal izraz pod predpostavko neodvisnosti in normalnosti je Markov zmanjšal predpostavke na obliko omenjeno zgoraj. Nadaljnjo posplošitev nesferičnih napak je podal Alexander Aitken.
Cenilka generaliziranih najmanjših kvadratov Generalizirani najmanjši kvadrati (GLS), ki jih je razvil Aitken, razširjajo izrek Gaussa in Markova na primer, v katerem ima vektor napak neskalarno kovariančno matriko. Aitkenova cenilka je tudi BLUE (najboljša linearna nepristranska cenilka).
Izrek Gaussa in Markova, kot je opredeljen v ekonometriji
V večini obravnavanj navadnih najmanjših kvadratov je za regresorje (parametre, ki nas zanimajo) v oblikovani matriki predpostavljeno, da so fiksni v ponovljenih vzorcih. Ta predpostavka velja za neprimerno za večinoma neeksperimentalno znanost, kot je ekonometrija. Namesto tega velja, da so predpostavke izreka Gaussa in Markova pogojne glede na .
Sklici
Kategorija:Matematični izreki