Izrek o gradientu, znan tudi kot osnovni izrek infinitezimalnega računa za krivuljne integrale, pravi, da se lahko krivuljni integral skozi gradientno polje izračuna z vrednotenjem prvotnega skalarnega polja na končnih točkah krivulje. Izrek je posplošitev drugega osnovnega izreka infinitezimalnega računa na poljubno krivuljo v ravnini ali prostoru (običajno -razsežnem) in ne le na realno premico.
Če je odvedljiva funkcija in odvedljiva krivulja v , ki se začne v točki in konča v , potem velja:
kjer označuje gradient vektorskega polja .
Izrek o gradientu pomeni, da so krivuljni integrali skozi gradientna polja neodvisni od poti. V fiziki je ta izrek eden od načinov za definiranje konservativne sile. Če se postavi kot potencial, je konzervativno polje. Delo konservativnih sil ni odvisno od poti, ki ji sledi telo, temveč le od končnih točk, kot kaže zgornja enačba.
Izrek o gradientu ima tudi zanimiv obrat: vsako vektorsko polje, neodvisno od poti, se lahko izrazi kot gradient skalarnega polja. Tako kot izrek o gradientu sam ima tudi ta obrat mnoge presenetljive posledice in rabe tako v čisti kot v uporabni matematiki.
Dokaz
Če je odvedljiva funkcija iz neke odprte podmnožice in odvedljiva funkcija iz nekega zaprtega intervala (upoštevati je treba, da je odvedljiva na končnih točkah intervala in . Da bi se to doseglo, je definirana na intervalu, ki je večji od in vključuje interval .), potem je po verižnem pravilu za več spremenljivk kompozitum funkcije odvedljiv na :
za vse . Tu označuje skalarni produkt.
Če se predpostavi, da domena funkcije vsebuje odvedljivo krivuljo s končnima točkama in . (Ta je usmerjena v smeri od do ). Če parametrizira za (to je predstavlja kot funkcijo ), potem velja:
kjer se v prvi enačbi rabi definicija krivuljnega integrala, v drugi enačbi zgornja enačba, v tretji enačbi pa drugi osnovni izrek infinitezimalnega računa.
Čeprav je bil izrek o gradientu (imenovan tudi osnovni izrek infinitezimalnega računa za krivuljne integrale) do sedaj dokazan za odvedljivo (torej gladko) krivuljo, je izrek dokazan tudi za po delih gladko krivuljo, saj je ta krivulja narejena z združitvijo več odvedljivih krivulj, zato je dokaz zanjo narejen z dokazom za vsako komponento odvedljive krivulje.
Zgledi
Zgled 1
Naj je krožni lok usmerjen v nasprotni smeri urinega kazalca iz točke v točko . S pomočjo definicije krivuljnega integrala sledi:
Ta rezultat se lahko dobi veliko preprosteje, če se vzame, da ima funkcija gradient , zato je po izreku o gradientu:
Zgled 2
Za abstraktnejši zgled naj ima končni točki in z usmerjenostjo od do . Za naj označuje evklidsko normo . Če je realno število, potem je:
Tukaj končna enakost sledi iz izreka o gradientu, ker je funkcija odvedljiva na pri .
Če je , bo ta enakost v večini primerov še vedno veljala, vendar je potrebna previdnost, če poteka skozi ali obdaja izhodišče, ker vektorsko polje integranda tam ne bo definirano. Vendar pa je primer nekoliko drugačen. V tem primeru integrand postane , tako da končna enakost postane .
Upošteva se, da če je , je ta primer preprosto rahla različica znanega potenčnega pravila iz infinitezimskega računa ene spremenljivke.
Zgled 3
Naj je v trirazsežnem prostoru razporejenih točkastih nabojev, -ti točkasti naboj pa ima električni naboj in se nahaja v legi v . Izračuna naj se delo, ki ga opravi točkasto telo z električnim nabojem , ko se giblje od točke do točke v . Z rabo Coulombovega zakona se lahko enostavno določi, da bo sila na točkasto telo v legi enaka:
Tukaj označuje evklidsko normo vektorja in . kjer je influenčna konstanta.
Naj je poljubna odvedljiva krivulja iz točke v točko . Potem je delo, ki ga opravi točkasto telo, enako:
Sedaj za vsak neposredni izračun pokaže da je:
Tako, če se nadaljuje od zgoraj in rabi izrek o gradientu:
To je konec računa. Seveda bi se ta izračun lahko zlahka zaključilo z rabo zmogljivega jezika elektrostatičnega potenciala ali elektrostatične potencialne energije (z znanimi formulami ). Vendar pa se potencial ali potencialna energija še nista definirala, ker je za dokaz, da gre za dobro definirane, odvedljive funkcije in da te formule veljajo (glej spodaj). Tako se je ta problem rešil le z rabo Coulombovega zakona, definicije dela in izreka o gradientu.
Obrat izreka o gradientu
Izrek o gradientu pravi, da če je vektorsko polje gradient neke funkcije s skalrno vrednostjo (to je, če je konservativno), potem je od poti neodvisno vektorsko polje (to je integral po neki po delih odvedljivi krivulji je odvisen le od končnih točk). Ta izrek ima močan obrat:
Preprosto je pokazati, da je vektorsko polje neodvisno od poti, če in samo če je integral vektorskega polja po vsaki zaprti zanki v njegovi domeni enak nič. Obratno se lahko torej alternativno napiše takole: Če je integral po vsaki zaprti zanki v domeni enak nič, potem je gradient neke funkcije s skalarno vrednostjo.
Dokaz obrata
Naj je odprta s potmi povezana podmnožica in zvezno in od poti neodvisno vektorsko polje. Naj bo nek element fiksen in naj bo definirana funkcija kot:
Tukaj je poljubna (odvedljiva) funkcija v , ki se začne v točki in konča v točki . Ve se, da je dobro definirana, ker je neodvisno od poti.
Naj je poljubni neničelni vektor v . Po definiciji smernega odvoda:
Za izračun integrala znotraj končne limite je treba parametrizirati funkcijo . Ker je neodvisno od poti, je odprta in se približuje ničli, se lahko predpostavi, da je ta pot premica, in se jo parametrizira kot za . Ker je , limita postane:
kjer prva enakost izhaja iz definicije odvoda z dejstvom, da je integral enak 0 pri , druga enakost pa izhaja iz prvega osnovnega izreka infinitazimalnega računa. Tako obstaja formula za (eden od načinov za predstavitev smernega odvoda), kjer je poljuben. Za (glej njegovo polno definicijo zgoraj), je njegov smerni odvod glede na :
kjer prvi dve enakosti kažeta le različni predstavitvi smernega odvoda. Glede na definicijo gradienta skalarne funkcije , , se je torej našlo funkcijo s skalarno vrednostjo, katere gradient je vektorsko polje , neodvisno od poti (to je je konservativno vektorsko polje), kot se je želelo.
Zgled načela obrata
Za ponazoritev moči tega načela obrata se navaja zgled, ki ima pomembne fizikalne posledice. V klasičnem elektromagnetizmu je električna sila sila, neodvisna od poti delo, opravljeno na telesu, ki se je vrnilo v prvotno lego znotraj električnega polja, je enako nič (ob predpostavki, da ni prisotnih spreminjajočih se magnetnih polj).
Zato zgornji izrek implicira, da je električno polje sile konservativno (tukaj je neka odprta, s potjo povezana podmnožica , ki vsebuje porazdelitev električnega naboja). Če se sledi zamislim zgornjega dokaza, se lahko v postavi neko referenčno točko in definira funkcijo kot:
Z zgornjim dokazom se ve, da je dobro definirana in odvedljiva in (iz te formule se lahko z izrekom o gradientu enostavno izpelje dobro znano formulo za izračun dela, ki ga opravijo konservativne sile: ). Ta funkcija se pogosto imenuje elektrostatična potencialna energija sistema električnih nabojev v (glede na ničelno točko potenciala ). V mnogih primerih se predpostavlja, da je domena neomejena, referenčna točka pa je »neskončnost«, kar je mogoče doseči strogo z rabo tehnik limit. Ta funkcija je nepogrešljivo orodje, ki se rabi pri analizi mnogih fizikalnih sistemov.
Posplošitve
Mnogi kritični izreki vektorskega računa se elegantno posplošijo na izjave o integranju diferencialnih form na mnogoterostih. V jeziku diferencialnih form in zunanjih odvodov izrek o gradientu pravi, da je:
za poljubno 0-formo , definirano na neki odvedljivi krivulji (tukaj se integral čez mejo razume kot vrednotenje v končnih točkah ).
Treba je biti pozoren na presenetljivo podobnost med to izjavo in posplošenim Stokesovim izrekom, ki pravi, da je integral poljubne kompaktno podprte diferencialne forme nad mejo neke usmerjene mnogoterosti enak integralu njenega zunanjega odvoda nad celotno , to je:
Ta močna izjava je posplošitev izreka o gradientu iz 1-form, definiranih na enorazsežnih mnogoterostih, v diferencialne forme, definirane na mnogoterostih poljubne razsežnosti.
Obratna izjava izreka o gradientu ima tudi močno posplošitev v smislu diferencialnih form na mnogoterostih. Predvsem se predpostavi, da je forma, definirana na skrčljivi domeni, in da je integral nad poljubno zaprto mnogoterostjo enak nič. Potem obstaja takšna forma , da je . Torej je na skrčljivi domeni vsaka zaprta forma eksaktna. Ta rezultat povzema Poincaréjeva lema.
Glej tudi
skalarni potencial
klasična mehanika
Sklici
Viri
Kategorija:Infinitezimalni račun Kategorija:Izreki v infinitezimalnem računu