Smerni odvod v infinitezimalnem računu več spremenljivk meri trenutno stopnjo, s katero se funkcija spreminja vzdolž določenega vektorja skozi dano točko. Če se vektor pomnoži s skalarjem, se ustrezni smerni odvod pomnoži z istim skalarjem.
Nekatera osnovna besedila namesto tega rabijo besedno zvezo »smerni odvod v smeri vektorja « za stopnjo spremembe funkcije na enoto razdalje v tej smeri. V tem dogovoru se neničelni vektor najprej normalizira na enotski vektor , kjer je normalizirani vektor označen s simbolom cirkumfleksa (karete, klobuka, strešice): »«.
Smerni odvod skalarne funkcije glede na vektor se lahko označi s katerim koli od naslednjih zapisov:
Zato posplošuje pojem parcialnega odvoda, pri katerem se stopnja spremembe meri vzdolž ene od krivočrtnih koordinatnih krivulj, pri čemer so vse preostale koordinate konstantne. V funkcionalni analizi je analogen pojem za funkcije med topološkimi vektorskimi prostori Gateauxov odvod.
Definicija
thumb|right|220px|Konturni graf funkcije , ki prikazuje vektor gradienta v črni barvi, enotski vektor , skaliran s smernim odvodom v smeri , pa v oranžni barvi. Vektor gradienta je daljši, ker gradient kaže v smer največje stopnje naraščanja funkcije.
Smerni odvod skalarne funkcije:
vzdolž vektorja:
je funkcija , definirana z limito:
Ta definicija velja v širokem razponu kontekstov, na primer tam, kjer je definirana norma vektorja. V končnih razsežnostih ni odvisna od izbire norme, saj so vse norme enakovredne. Njena uporabnost se razteza na funkcije na končnorazsežnih vektorskih prostorih brez metrike in na odvedljive mnogoterosti, kot je to na primer v splošni teoriji relativnosti.
Zgled
Izračuna naj se odvod realne funkcije v točki v smeri vektorja . Odvod je enak:
Za odvedljive funkcije
Če je funkcija odvedljiva v točki , potem smerni odvod obstaja vzdolž poljubnega vektorja v točki in velja:
kjer na desni označuje gradient, pa skalarni produkt.
Izpelje se ga lahko z rabo lastnosti, da vsi smerni odvodi v točki tvorijo eno samo tangentno ravnino, ki jo je mogoče definirati z delnimi odvodi. To se lahko rabi za iskanje formule za vektor gradienta in alternativne formule za smerni odvod, slednjega pa se lahko za lažjo rabo prepiše, kot je prikazano zgoraj.
Iz definiranja poti sledi tudi, da z rabo definicije odvoda kot limite vzdolž te poti izhaja:
kjer je .
Raba samo smeri vektorja
thumb|right|220px|Kot med tangento in vodoravnico bo največji, če rezalna ravnina vsebuje smer naklona .
V evklidskem prostoru nekateri avtorji definirajo smerni odvod kot glede na poljuben neničelni vektor po normalizaciji, torej neodvisen od njegove velikosti in odvisen le od njegove smeri.
Ta definicija podaja stopnjo spremembe funkcije na enoto razdalje, premaknjeno v smeri, ki jo določa vektor . V tem primeru je:
ali v primeru, da je odvedljiva v točki :
Lastnosti
Za smerni odvod velja mnogo znanih lastnosti navadnega odvoda. Te vključujejo za poljubni dve funkciji in , definirani v okolici in odvedljivi v tej točki:
V diferencialni geometriji
Naj bo odvedljiva mnogoterost in točka na . Predpostavi se, da je funkcija, definirana v okolici in odvedljiva v tej točki. Če je tangentni vektor na v točki , potem se lahko smerni odvod vzdolž , označen različno kot (glej zunanji odvod), kot (glej kovariantni odvod), kot (glej Liejev odvod) ali kot (glej ), definira na naslednji način. Naj bo odvedljiva krivulja z in . Potem je smerni odvod definiran z izrazom:
Ta definicija se lahko dokaže neodvisno od izbire , če je izbran na predpisan način, tako da je in .
Liejev odvod
Liejev odvod vektorskega polja vzdolž vektorskega polja je podan z razliko dveh smernih odvodov (z izginjajočo torzijo):
Še posebej se za skalarno polje Liejev odvod zreducira na standardni smerni odvod:
Riemannov tenzor
Smerni odvodi se pogosto rabijo pri uvodnih izpeljavah Riemannovega tenzorja ukrivljenosti. Naj je ukrivljeni pravokotnik z infinitezimalnim vektorjem vzdolž enega roba in vzdolž drugega. Kovektor se premakne vzdolž , nato in nato se odšteje translacijo vzdolž in nato . Namesto da bi se smerni odvod gradil z rabo parcialnih odvodov, se rabi kovariantni odvod. Operator translacije za je tako:
in za :
Razlika med dvema potema je potem:
Lahko se trdi, da nekomutativnost kovariantnih odvodov meri ukrivljenost mnogoterosti:
kjer je Riemannov tenzor ukrivljenosti, predznak pa je odvisen od dogovora o predznakih avtorja.
V teoriji grup
Translacije
V Poincaréjevi algebri se lahko definira infinitezimalni operator translacije kot:
( zagotavlja, da je sebi adjungirani operator) Za končni premik je unitarna reprezentacija Hilbertovega prostora za translacije enaka:
Z rabo zgornje definicije infinitezimalnega operatorja translacije se vidi, da je končni operator translacije eksponentni smerni odvod:
To je operator translacije v smislu, da deluje na funkcije več spremenljivk ) kot:
Dokaz zadnje enačbe
V standardnem infinitezimalnem enospremenljivčnem računu ene spremenljivke je odvod gladke funkcije z (za majhne ):
To se lahko preuredi, da se dobi :
Iz tega sledi, da je operator translacije. To se takoj posploši na funkcije več spremenljivk :
Tukaj je smerni odvod vzdolž infinitezimalnega premika . Našla se je infinitezimalna različica operatorja translacije:
Očitno je, da ima zakon množenja grup obliko:
Predpostavi se torej, da se vzame končni premik in se ga razdeli na delov (pri tem povsod velja ), tako da je . Z drugimi besedami;
Nato se lahko z -kratno rabo skonstruira :
Sedaj se lahko vstavi zgornji izraz za :
Če se rabi identiteta:
sledi:
In ker je , je:
Kot tehnična opomba, je ta postopek mogoč le zato, ker translacijska grupa tvori Abelovo podgrupo (Cartanovo podalgebro) v Poincaréjevi algebri. Zlasti zakona množenja grup se ne sme jemati kot samoumevnega. Upošteva se tudi, da je Poincaréjeva grupa povezana Liejeva grupa. To je grupa transformacij , ki jih opisuje zvezna množica realnih parametrov . Zakon množenja grup ima obliko
Če se za koordinate identitete vzame , mora biti:
Dejanski operatorji v Hilbertovem prostoru so predstavljeni z unitarnimi operatorji . V zgornjem zapisu se je izločil . Sedaj se piše kot . Za majhno okolico okrog identitete je reprezentacija potenčne vrste:
precej dobra. Predpostavi se, da tvori neprojektivno reprezentacijo, tj.:
Razvoj funkcije na drugo potenco je:
Po razvoju enačbe množenja reprezentacije in izenačitvi koeficientov sledi netrivialni pogoj:
Ker je po definiciji simetričen glede na svoje indekse, je standardni komutator Liejeve algebre:
kjer je strukturna konstanta. Generatorji za translacije so operatorji parcialnih odvodov, ki komutirajo kot:
To pomeni, da strukturne konstante izginejo in s tem v razvoju funkcije izginejo tudi kvadratni koeficienti. To pomeni, da je preprosto aditivna funkcija:
in tako za Abelove grupe:
Zasuki
Operator vrtenja tudi vsebuje smerni odvod. Operator vrtenja za kot , tj. za količino okrog osi, vzporedne z , je:
Tu je vektorski generator, ki generira trirazsežno grupo vrtenj :
Geometrijsko se lahko pokaže, da infinitezimalno vrtenje v desno spremeni krajevni vektor za:
Zato bi se pri infinitezimalnem vrtenju pričakovalo:
Sledi da je:
Po istem postopku potenciranja kot zgoraj se pride do operatorja vrtenja v bazi leg, ki je eksponentiran smerni odvod:
Normalni odvod
Normalni odvod je smerni odvod, vzet v smeri normale (torej ortogonalno) na neko ploskev v prostoru ali bolj splošno vzdolž normalnega vektorskega polja, ortogonalnega na neko hiperploskev. Glej na primer Neumannov robni pogoj. Če je normalna smer označena z , potem je normalni odvod funkcije včasih označen kot . V drugih zapisih:
V mehaniki kontinuumov trdnih snovi
Več pomembnih rezultatov v mehaniki kontinuumov zahteva odvode vektorjev glede na vektorje in tenzorje glede na vektorje in tenzorje. Smerni odvod zagotavlja sistematičen način iskanja teh odvodov.
Spodaj so navedene definicije smernih odvodov za različne situacije. Predpostavlja se, da so funkcije dovolj gladke, da je mogoče odvode izračunati.
Odvodi skalarnih funkcij vektorjev
Naj je realna funkcija vektorja . Potem je odvod funkcije glede na (ali v točki ) vektor, definiran s svojim skalarnim produktom, pri čemer je poljubni vektor enak:
za vse vektorje . Zgornji skalarni produkt daje skalar, in če je enotski vektor, daje smerni odvod funkcije glede na v smeri .
Lastnosti:
Odvodi vektorskih funkcij vektorjev
Naj je vektorska funkcija vektorja . Potem je odvod funkcije glede na (ali v točki ) tenzor drugega reda, definiran s svojim skalarnim produktom, pri čemer je poljubni vektor enak:
za vse vektorje Zgornji skalarni produkt daje vektor, in če je enotski vektor, daje smerni odvod funkcije glede na v smeri .
Lastnosti:
Odvodi skalarnih funkcij tenzorjev drugega reda
Naj je realna funkcija tenzorja drugega reda . Potem je odvod funkcije glede na (ali v točki ) v smeri tenzor drugega reda, definiran kot:
za vse tenzorje drugega reda .
Lastnosti:
Odvodi tenzorskih funkcij tenzorjev drugega reda
Naj je funkcija tenzorja drugega reda z vrednostmi tenzorjev drugega reda. Potem je odvod funkcije glede na (ali v točki ) v smeri tenzor četrtega reda, definiran kot:
za vse tenzorje drugega reda .
Lastnosti:
Glej tudi
Opombe
Sklici
Viri
Zunanje povezave
Kategorija:Diferencialni račun Kategorija:Diferencialna geometrija Kategorija:Posplošitve odvoda Kategorija:Infinitezimalni račun več spremenljivk Kategorija:Skalarji Kategorija:Stopnje