Greenov izrek v vektorskem računu povezuje krivuljni integral okrog enostavne zaprte krivulje in dvojni integral po ravninskem območju (ploskev v ), ki ga omejuje . Je dvorazsežni posebni primer Stokesovega izreka (ploskev v ). V eni razsežnosti je enakovreden osnovnemu izreku infinitezimalnega računa. V dveh razsežnostih je enakovreden izreku Gaussa in Ostrogradskega.
Izrek se imenuje po angleškem matematiku in fiziku Georgeu Greenu (1793–1841).
Izrek
Naj je pozitivna usmerjena, po delih gladka enostavna zaprta krivulja v ravnini in naj je , območje omejeno s . Če sta in funkciji , definirani na odprtem območju, ki vsebuje in imata zvezne parcialne odvode, potem je:
kjer pot integriranja vzdolž poteka v obratni smeri urinega kazalca.
Raba
Greenov izrek v ravnini povezuje krivuljne integrale okrog enostavne zaprte krivulje z dvojnimi integrali po območjih, ki jih ta obdaja. Ima dve enakovredni obliki: cirkulacijsko obliko, ki pravi, da je tangentni krivuljni integral vektorskega polja okrog pozitivno usmerjene enostavne zaprte krivulje enak dvojnemu integralu skalarnega rotorja po območju , omejenem s in pretočno (divergenčno) obliko, ki pravi, da je normalni krivuljni integral okrog enak dvojnemu integralu divergence nad . V rabah se cirkulacijska oblika rabi za dvorazsežne izračune cirkulacije in sučnega pretoka, medtem ko pretočna oblika meri neto odtok čez zaprto mejo. Greenov izrek daje tudi praktične mejno-integralske formule za površino in težišče ravninskega območja.
Dokaz, ko je D enostavno območje
thumb|right|220px|Če je enostavna vrsta območja z mejo, ki jo sestavljajo krivulje , , in , se lahko pokaže polovico Greenovega izreka.
Sledi dokaz polovice izreka za poenostavljeno območje , območje tipa I, kjer sta in krivulji, povezani z navpičnima daljicama (morda z ničelnima dolžinama). Podoben dokaz obstaja za drugo polovico izreka, ko je območje tipa II, kjer sta in krivulji, povezani z vodoravnima daljicama (spet, morda z ničelnima dolžinama). Če se združi ta dva dela, je izrek tako dokazan za območja tipa III (definirana kot območja, ki so tipa I in tipa II). Splošni primer se lahko nato izpelje iz tega posebnega primera z razgradnjo v niz območij tipa III.
Če se lahko dokaže, da veljata enačbi:
in:
potem Greenov izrek takoj sledi za območje . Enačba () se lahko enostavno dokaže za območja tipa I in enačba () za območja tipa II. Greenov izrek nato sledi za območja tipa III.
Predpostavi se, da je območje območje tipa I in ga je torej mogoče označiti, kot je prikazano na desni, z:
kjer sta in zvezni funkciji na zaprtem intervalu . Izračuna se dvojni integral v enačbi ():
Sedaj se izračuna krivulni integral v enačbi (). se lahko prepiše kot unijo štirih krivulj: , , in .
Za se rabita parametrični enačbi: in . Potem je:
Za se rabita parametrični enačbi in . Potem je:
Integral nad je negativen, ker gre v negativni smeri od do , saj je pozitivno usmerjena (v nasprotni smeri urinega kazalca). Na in ostane konstanten, kar pomeni:
Zato je:
Če se združita enačbi () in (), se dobi enačbo () za območje tipa I. Podobna obravnava z istimi končnimi točkami da enačbo () za območja tipa II. Če se združita obe, se dobi rezultat za območja tipa III.
Dokaz za rektifiabilne Jordanove krivulje
Dokazal se bo naslednji:
Potrebujejo se naslednje leme, katerih dokaze se najde v:
Sedaj se lahko dokaže izrek:
Dokaz izreka
Naj je poljubno pozitivno realno število. Zaradi zveznosti in in kompaktnosti , če je , obstaja tako da kadar koli sta dve točki med seboj oddaljeni manj kot , sta njuni sliki pod in med seboj oddaljeni manj kot . Za to število se upošteva razgraditev, ki jo podaja prejšnja lema. Tako je:
Naj je .
Za vsak je krivulja pozitivno usmerjeni kvadrat, za katerega Greenova formula velja. Zato:
Vsaka točka mejnega območja je od oddaljena za največ . Če je torej unija vseh mejnih območij, potem je zato je po lemi 2. Upošteva se, da je:
To vodi do:
Lahko pa se izbere , tako da je desna stran zadnje neenakosti .
Opomba na začetku tega dokaza pomeni, da so nihanja in na vsakem mejnem območju največ . Sledi:
Po lemi 1(iii) je:
Če se zduži, je končno:
za nek . Ker to velja za vsak , je dokaz končan.
Veljavnost pod različnimi domnevami
Domneve zadnjega izreka niso edine, pod katerimi Greenova formula velja. Druga pogosta množica pogojev je naslednja:
Funkciji se še vedno predpostavljata kot zvezni. Vendar pa se zdaj zahteva, da sta odvedljivi po Fréchetu v vsaki točki . To pomeni obstoj vseh smernih odvodov, še posebej , kjer je, kot običajno, kanonična urejena baza . Poleg tega se zahteva, da je funkcija integrabilna po Riemannu nad .
Kot posledica tega se dobi Cauchyjev integralski izrek za rektifiabilne Jordanove krivulje:
Dokaz izreka
Kompleksno ravnino se obravnava kot . Sedaj se definirata funkciji tako, da je . Ti funkciji sta očitno zvezni. Dobro je znano, da sta in odvedljivi po Fréchetu in da zadoščata Cauchy-Riemannovim enačbam: .
Če se sedaj analizira vsote, rabljene za definiranje obravnavanega kompleksnega konturnega integrala, se zlahka ugotovi, da je:
pri čemer sta integrala na desni strani običajna krivuljna integrala. Te opombe omogočajo, da se rabi Greenov izrek za vsakega od teh krivuljnih integralov, s čimer se dokaz zaključi.
Večkratno povezana območja
Izrek. Naj so pozitivno usmerjene rektifiabilne Jordanove krivulje v za katere velja:
kjer je notranje območje . Naj je_
Privzame se, da sta in zvezni funkciji, katerih omejitev na je odvedljiva po Fréchetu. Če je funkcija:
odvedljiva po Riemannu nad , potem je:
Povezava s Stokesovim izrekom
Greenov izrek je poseben primer Stokesovega izreka, ko se rabi za območje v ravnini .
Dvorazsežno polje se lahko razširi v trirazsežno polje s komponento , ki je vedno enaka 0. Za vektorsko funkcijo se piše . Začne se z levo stranjo Greenovega izreka:
Stokesov izrek je
Ploskev je le območje v ravnini , kjer je enotska normala definirana (po dogovoru) s pozitivno komponento , da se ujema z definicijami »pozitivne usmerjenosti« za oba izreka.
Izraz znotraj integrala postane:
Tako se dobi desno stran Greenovega izreka:
Greenov izrek je tudi neposreden rezultat splošnega Stokesovega izreka z rabo diferencialnih form in zunanjih odvodov:
Povezava z izrekom Gaussa in Ostrogradskega
Če se upošteva samo dvorazsežna vektorska polja, je Greenov izrek enakovreden dvorazsežni različici izreka Gaussa in Ostrogradskega:
kjer je divergenca dvorazsežnega vektorskega polja in navzven usmerjeni enotski normalni vektor na meji.
Če se želi to videti, se razmisli o enotski normali na desni strani enačbe. Ker je v Greenovem izreku vektor, ki kaže tangencialno vzdolž krivulje, in je krivulja pozitivno usmerjena (tj. v nasprotni smeri urinega kazalca) krivulja vzdolž meje, bi bila zunanja normala vektor, ki kaže 90° na desno od tega; ena možnost bi bila . Dolžina tega vektorja je . Torej .
Začne se z levo stranjo Greenovega izreka:
Z rabo dvorazsežnega izreka Gaussa in Ostrogradskega z se dobi desno stran Greenovega izreka:
Izračun površine
Greenov izrek se lahko rabi za izračun površine s krivuljnim integralom. Površina ravninskega območja je dana z:
Izbereta se in tako, da velja . Ploščina je podana z:
Možne formule za površino vključujejo:
Zgodovina
Kelvin je ta izrek poimenoval po Georgeu Greenu, ki je podoben rezultat navedel v članku iz leta 1828 z naslovom Esej o rabi matematične analize v teorijah elektrike in magnetizma (An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism), ki je bil skoraj pozabljen, dokler ga Kelvin ni ponovno odkril leta 1845. Leta 1846 je Augustin Louis Cauchy objavil članek, v katerem je Greenov izrek navedel kot predzadnji stavek. Dokaz izreka je leta 1851 končno podal Bernhard Riemann v svoji doktorski disertaciji.
Glej tudi
orodje za merjenje površine metoda, ki se rabi v elektrostatiki in izkorišča izrek o edinstvenosti (izpeljan iz Greenovega izreka) posebni primer Greenovega izreka za preproste mnogokotnike izrek v dvorazsežni dinamiki, ki sledi iz rabe Greenovega izreka
Sklici
Viri
Nadaljnje branje
Zunanje povezave
Kategorija:Vektorski račun Kategorija:Izreki v infinitezimalnem računu Kategorija:1828 v znanosti